Przykład funkcji R-całkowalnej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
azusia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 15 paź 2009, o 19:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Advent Calendar
Podziękował: 15 razy

Przykład funkcji R-całkowalnej

Post autor: azusia » 10 wrz 2011, o 11:31

Czy może ktoś podać przykład funkcji, która jest ciągła i niecałkowalna w sensie Riemanna. Czy jest to możliwe skoro na wykładzie profesor podał twierdzenie, że każda funkcja ciągła jest R-całkowalna.
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2011, o 18:10 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Przykład funkcji R-całkowalnej

Post autor: bartek118 » 10 wrz 2011, o 12:09

Nie istnieje. Każda funkcja ciągła jest całkowalna

brzoskwinka1

Przykład funkcji R-całkowalnej

Post autor: brzoskwinka1 » 10 wrz 2011, o 14:17

funkcja \(\displaystyle{ f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) jest ciągła i niecałkowalna w sensie Riemanna.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Przykład funkcji R-całkowalnej

Post autor: bartek118 » 10 wrz 2011, o 14:20

Jak to nie jest całkowalna? Jest całkowalna na każdym odcinku domkniętym zawartym w dziedzinie, a tylko na takich jest zdefiniowana całka Riemanna

brzoskwinka1

Przykład funkcji R-całkowalnej

Post autor: brzoskwinka1 » 10 wrz 2011, o 15:19

Nie jest całkowalna niestety, a całkę Riemanna możesz sobie równie dobrze zdefiniować na odcinku otwartym.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Przykład funkcji R-całkowalnej

Post autor: yorgin » 10 wrz 2011, o 15:30

azusia pisze:Czy może ktoś podać przykład funkcji, która jest ciągła i niecałkowalna w sensie Riemanna. Czy jest to możliwe skoro na wykładzie profesor podał twierdzenie, że każda funkcja ciągła jest R-całkowalna.
Może profesorowi chodziło o twierdzenie, że każda funkcja ciągła ma pierwotną? Bo oczywiście ciągłe i nie R-całkowalne istnieją. Na przedziałach domkniętych owszem kryterium ciągłości jest słuszne, ale dla otwartych już nie.

azusia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 15 paź 2009, o 19:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Advent Calendar
Podziękował: 15 razy

Przykład funkcji R-całkowalnej

Post autor: azusia » 10 wrz 2011, o 16:23

Czyli jeśli funkcja jest określona na przedziale otwartym może nie być R-całkowalna, a jeśli na domkniętym to zawsze jest?
I ta funkcja \(\displaystyle{ f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) jest ciągła i niecałkowalna w sensie Riemanna?

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Przykład funkcji R-całkowalnej

Post autor: yorgin » 10 wrz 2011, o 16:32

Funkcje ciągłe określone na domkniętych i ograniczonych przedziałach są całkowalne (jedno z podstawowych kryteriów całkowalności, ale można je również osłabić i pozostanie prawdziwe)


Ciągłe określone na domkniętych nieograniczonych nie muszą być całkowalne.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}xdx}\) jest rozbieżna.


Ciągłe na otwartych ograniczonych też nie muszą być całkowalne.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{x}=\ln 1- \lim_{ y\to 0}\ln y}\) i znów rozbieżna całka, a funkcja podcałkowa jak najbardziej ciągła.

ODPOWIEDZ