Matematyka.pl

Do czego to można porównać, żeby uzasadnić zbieżność lub rozbieżność:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n \sqrt{ln^{3}n} }}\)

Z góry dziękuje za pomoc.

Jeśli \(\displaystyle{ f(n)}\) jest nierosnącym ciągiem liczb nieujemnych, to mamy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty\sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} f(2^k)\ge \sum_{n=2}^\infty f(n)\ge \sum_{k=1}^\infty\sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} f(2^{k+1})}\)

skąd:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty 2^k f(2^k)\ge \sum_{n=2}^\infty f(n)\ge \sum_{k=1}^\infty2^kf(2^{k+1})}\)

Wystarczy podstawić \(\displaystyle{ f(n)=\frac 1{n\sqrt{\ln^3n}}}\) i porównać środkowy szereg z lewym i/lub prawym.