diagonalizacja macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
kamilrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 5 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: kamilrun » 9 wrz 2011, o 23:14

Witam, za zadanie mam sprawdzić, czy macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&1&1\\0&0&0&0\\1&1&1&1\end{array}\right]}\) jest diagonalizowalna.
Kiedy wyznaczyłem wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_1 = 0}\) i \(\displaystyle{ \lambda_2 = 3}\) - odpowiednio 3-krotne i 1-krotne dalej szukałem wektorów własnych i tak:


Aby je znaleźć trzeba zbadać rząd macierzy podstawiając do macierzy wartości własne. Dla \(\displaystyle{ \lambda_1 = 0}\) wyszedł mi rząd równy 1, czyli rozwiązania były zależne od 3 parametrów, czyli dostawaliśmy końcowo 3 wektory własne.
Dla \(\displaystyle{ \lambda_2 = 3}\) wychodzi mi, że macierz odpowiednia dla tej wartości, czyli macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-2&1&1&1\\1&-2&1&1\\0&0&-3&0\\1&1&1&-2\end{array}\right]}\) ma rząd równy 4(!) - dobrze policzyłem? Jeśli tak jest to wtedy rozwiązania nie są zależne od jakichkolwiek parametrów i wychodzi mi,że wektor własny ma postać \(\displaystyle{ \vec{v} = (0,0,0,0)}\) .

Proszę Was bardzo o sprawdzenie, czy dobrze policzyłem rzędy obydwu macierzy i czy wszystko to co napisałem jest prawidłowe, czy nie ma tam jakiegoś błędu..

Dziękuję z góry i pozdrawiam!

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: Piotr Pstragowski » 9 wrz 2011, o 23:40

No musiałeś się pomylić w obliczeniach.

Nie może Ci wyjść, że 3 jest wartością własną, ale \(\displaystyle{ A-3*I}\) jest odwracalna. Policz wielomian charakterystyczny, znajdź pierwiastki.

Awatar użytkownika
kamilrun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 5 razy

diagonalizacja macierzy

Post autor: kamilrun » 9 wrz 2011, o 23:54

..ale przecież pierwiastki już znalazłem?

ODPOWIEDZ