Wartość oczekiwana i mediana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
ociowaty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 9 wrz 2011, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Wartość oczekiwana i mediana

Post autor: ociowaty » 9 wrz 2011, o 20:55

Witam,
mam funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2x^{2}} |x|>1\\ 0 |x| \le 1\end{cases}}\)
Mam z obliczyć wartość oczekiwaną i medianę.

Oczywiście zaczynam od pozbycia się wartości bezwzględnej, co daje:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2x^{2}} x \in (-1;- \infty ) \cup (1; \infty ) \\ 0 x \in <-1;1>\end{cases}}\)

Licze wartość oczekiwaną:
\(\displaystyle{ EX = \int_{- \infty }^{ \infty } x \cdot f(x) \mbox{d}x = \int_{-1}^{- \infty } x \cdot \frac{1}{2x^{2}} \mbox{d}x +\int_{\infty}^{1} x \cdot \frac{1}{2x^{2}} \mbox{d}x}\)

Z całego tego rachunku wychodzi mi, że \(\displaystyle{ EX = -\frac{1}{2}}\)
Z tego co wiem \(\displaystyle{ EX > 0}\) czy komuś wyszło inaczej ?

Co do samej mediany wiem, że liczy się ją tak:
\(\displaystyle{ \int_{ - \infty }^{ x_{0,5}} f(x) \mbox{d}x = 0,5}\), tylko nie wiem do końca jak to liczyć.
czy liczyć to na zasadzie dystrybuanty, czy jakoś inaczej ?

Z góry dziękuję za pomoc. Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Wartość oczekiwana i mediana

Post autor: yorgin » 9 wrz 2011, o 21:06

Wartość oczekiwana oczywiście może być ujemna. Zauważ, że jeżeli zmienna losowa dyskretna przyjmuje wartości tylko ujemne, to jej wartość oczekiwana musi być ujemna.

Ale rachunki wydają mi się być niepoprawne. Rozkłady symetryczne względem zera mają wartości oczekiwane równe 0.

Medianę możesz policzyć oczywiście tak, jak napisałeś.

Rozkłady symetryczne również mają łatwą do policzenia medianę.

ociowaty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 9 wrz 2011, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Wartość oczekiwana i mediana

Post autor: ociowaty » 9 wrz 2011, o 21:33

Rachunki mają się tak:
\(\displaystyle{ EX = \int_{- \infty }^{ \infty } x \cdot f(x) \mbox{d}x = \int_{-1}^{- \infty } x \cdot \frac{1}{2x^{2}} \mbox{d}x +\int_{\infty}^{1} x \cdot \frac{1}{2x^{2}} \mbox{d}x=\int_{-1}^{- \infty } \frac{1}{2x} \mbox{d}x +\int_{\infty}^{1} \frac{1}{2x} \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \lim_{a \to -\infty} \int_{-1}^{a} \frac{1}{2x} \mbox{d}x+\lim_{b \to \infty} \int_{b}^{1} \frac{1}{2x} \mbox{d}x = \lim_{ a\to -\infty} \frac{ln|x|}{2}[a;-1]+\lim_{ b\to \infty} \frac{ln|x|}{2}[1;b]}\)
i nagle cuda powychodziły... nie wiem jak dalej ruszyć, bo wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\).
Co do samej mediany, rozumiem, że to tak działa, że dla każdego przedziału licze osobną medianę ? [\(\displaystyle{ (- infty ;-1), (-1;1), (1; infty )}\)]

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Wartość oczekiwana i mediana

Post autor: yorgin » 9 wrz 2011, o 23:09

Medianę liczysz dla całego rozkładu, nie dla jego poszczególnych kawałków.

A co do słuszności mojego stwierdzenia o zerowej wartości oczekiwanej:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx= \int_{-\infty}^{0}xf(x)dx+ \int_{0}^{+\infty}xf(x)dx=}\)

Zamiana zmiennych w drugiej całce:

\(\displaystyle{ y=-x, dx=-dy, x\in [0,+\infty], y\in [0,-\infty]}\)

\(\displaystyle{ = \int_{-\infty}^{0}xf(x)dx+ \int_{0}^{-\infty}(-y)f(-y)(-dy)=\\ =\int_{-\infty}^{0}xf(x)dx- \int_{-\infty}^{0}yf(y)dy=0}\)

Patrząc na twoje rachunki, owszem dostajesz całki niewłaściwe. Zauważ jednak, że

\(\displaystyle{ \lim_{a \to -a_0} \ln |a|= \lim_{b \to a_0}\ln |b|}\)
czyli
\(\displaystyle{ \lim_{a \to -\infty} \ln |a|= \lim_{b \to +\infty}\ln|b|}\)
Obie granice są identyczne, i występują w Twoich rachunkach z przeciwnym znakiem. Zatem ich różnica wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Proponuję to zapisać jako jedną granicę różnicy logarytmów.

Mam nadzieję że nie pokręciłem, średnio dobrze mi się myśli.

ociowaty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 9 wrz 2011, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Wartość oczekiwana i mediana

Post autor: ociowaty » 10 wrz 2011, o 08:29

Dzięki, tę część już rozumiem. Niestety dalej nie wiem jak zrobić medianę.

Możesz rozpisać wzór \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ x_{0,5} } f(x) \mbox{d}x}\) ?
wiem, że trzeba rozbić to na sumę 3 całek z każdego przedziału, ale nie wiem jak powinny wyglądać granice całkowania...

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Wartość oczekiwana i mediana

Post autor: yorgin » 10 wrz 2011, o 11:25

Może nie będę rozpisywać, ale podpowiem tak:

Zauważ, że

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{1} f(x)dx= \int_{1}^{\infty}f(x)dx=\frac{1}{2}}\)

Dodatkowo:

\(\displaystyle{ \forall \ -1\leq c<d\leq 1\qquad \int_{c}^{d}f(x)dx=0}\)

czyli

\(\displaystyle{ \forall t\in [-1,1]\ \ \int_{-\infty}^{t}f(x)dx=\frac{1}{2}}\)

ociowaty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 9 wrz 2011, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Wartość oczekiwana i mediana

Post autor: ociowaty » 10 wrz 2011, o 14:08

Czyli mam rozumieć, że wybieram te funkcje, które zawierają się w przedziale \(\displaystyle{ [-1; 1]}\) ?

Tak btw już poza tematem.
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to - \infty } \cos x}\)
Liczyłem medianę w innym przykładzie i doszedłem do takiego punktu jak powyżej. Jest takie cos w ogóle możliwe ?

Moja zdolność rozwiązywania całek leży...

Dziękuję za pomoc !
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2011, o 19:53 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ