Znaleźć homomorfizmy.

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Ola964
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

Znaleźć homomorfizmy.

Post autor: Ola964 » 9 wrz 2011, o 16:17

Znaleźć wszystkie homomorfizmy z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{15}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{3}}\).

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Znaleźć homomorfizmy.

Post autor: yorgin » 9 wrz 2011, o 20:12

Niech

\(\displaystyle{ \varphi:\mathbb{Z}_{15}\to\mathbb{Z}_3}\).

Wtedy

\(\displaystyle{ \varphi(m)=\varphi(\underbrace{1+_{15}\ldots+_{15}1}_m)=(m\varphi(1))_3}\)

Czyli

\(\displaystyle{ 0=\varphi(0)=\varphi(\underbrace{1+_{15}\ldots+_{15}1}_{x15})=(15\varphi(1))_3=(0\cdot\varphi(1))_3=0}\)

Stąd \(\displaystyle{ \varphi(1)}\) może być dowolnym elementem z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3}\) co daje 3 różne homomorfizmy. Ich postać łatwo teraz wyznaczyć.

Liczby w indeksach dolnych oznaczają oczywiście działania modulo.

Ola964
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

Znaleźć homomorfizmy.

Post autor: Ola964 » 9 wrz 2011, o 20:46

Wobec tego mamy 3 homomorfizmy:

\(\displaystyle{ \varphi_{1} : 1 \rightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ \varphi_{2} : 1 \rightarrow 1}\)

\(\displaystyle{ \varphi_{3} : 1 \rightarrow 2}\)

Czy dobrze rozumiem?

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Znaleźć homomorfizmy.

Post autor: yorgin » 9 wrz 2011, o 20:51

Rozumiesz doskonale.

ODPOWIEDZ