Znaleźć homomorfizmy.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Znaleźć homomorfizmy.
Niech
\(\displaystyle{ \varphi:\mathbb{Z}_{15}\to\mathbb{Z}_3}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \varphi(m)=\varphi(\underbrace{1+_{15}\ldots+_{15}1}_m)=(m\varphi(1))_3}\)
Czyli
\(\displaystyle{ 0=\varphi(0)=\varphi(\underbrace{1+_{15}\ldots+_{15}1}_{x15})=(15\varphi(1))_3=(0\cdot\varphi(1))_3=0}\)
Stąd \(\displaystyle{ \varphi(1)}\) może być dowolnym elementem z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3}\) co daje 3 różne homomorfizmy. Ich postać łatwo teraz wyznaczyć.
Liczby w indeksach dolnych oznaczają oczywiście działania modulo.
\(\displaystyle{ \varphi:\mathbb{Z}_{15}\to\mathbb{Z}_3}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \varphi(m)=\varphi(\underbrace{1+_{15}\ldots+_{15}1}_m)=(m\varphi(1))_3}\)
Czyli
\(\displaystyle{ 0=\varphi(0)=\varphi(\underbrace{1+_{15}\ldots+_{15}1}_{x15})=(15\varphi(1))_3=(0\cdot\varphi(1))_3=0}\)
Stąd \(\displaystyle{ \varphi(1)}\) może być dowolnym elementem z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3}\) co daje 3 różne homomorfizmy. Ich postać łatwo teraz wyznaczyć.
Liczby w indeksach dolnych oznaczają oczywiście działania modulo.
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 2 razy
Znaleźć homomorfizmy.
Wobec tego mamy 3 homomorfizmy:
\(\displaystyle{ \varphi_{1} : 1 \rightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ \varphi_{2} : 1 \rightarrow 1}\)
\(\displaystyle{ \varphi_{3} : 1 \rightarrow 2}\)
Czy dobrze rozumiem?
\(\displaystyle{ \varphi_{1} : 1 \rightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ \varphi_{2} : 1 \rightarrow 1}\)
\(\displaystyle{ \varphi_{3} : 1 \rightarrow 2}\)
Czy dobrze rozumiem?