Dowód kryterium Raabe'go z wykorzystaniem innego twierdzenia

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Miroslav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 9 paź 2009, o 15:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: RZ
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 2 razy

Dowód kryterium Raabe'go z wykorzystaniem innego twierdzenia

Post autor: Miroslav » 9 wrz 2011, o 12:12

Witam.
Mam kryterium Raabe'go w takiej postaci:
Jeżeli \(\displaystyle{ a_n>0}\), \(\displaystyle{ \varepsilon_n>0}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1-\frac{\beta}{n}+\frac{\varepsilon_n}{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ \beta}\) jest niezależne od \(\displaystyle{ n}\), wtedy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) zbieżny, gdy \(\displaystyle{ \beta>1}\) i rozbieżny, gdy\(\displaystyle{ \beta<1}\).

I mam kryterium ilorazowe 2-go rzędu:
Niech \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) bedzie szeregiem o wyrazach dodatnich. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n}}{a_n}}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n+1}}{a_n}}\) istnieją. Niech \(\displaystyle{ L_1=\lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n}}{a_n}}\), \(\displaystyle{ L_2=\lim_{n\to\infty} \frac{a_{2n+1}}{a_n}}\).
\(\displaystyle{ L=max(L_1,L_2)}\),\(\displaystyle{ l=\min(L_1,L_2)}\)
a) jeżeli\(\displaystyle{ L<\frac{1}{2}}\), to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) zbieżny
b) jeżeli \(\displaystyle{ l>\frac{1}{2}}\), to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n}\) rozbieżny
c) jeżeli \(\displaystyle{ l\leq\frac{1}{2}\leq L}\), to kryterium nie rozstrzyga.

i tutaj moje pytanie:
Jak udowodnić 2gą część kryterium Raabe'go(rozbieżność) używając do tego kryterium ilorazowego 2-go rzędu?

ODPOWIEDZ