[Nierówności] wykazanie nierówności III

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

[Nierówności] wykazanie nierówności III

Post autor: darek20 » 9 wrz 2011, o 10:25

Niech \(\displaystyle{ x, y , z \ge 0}\),\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = 2}\) oraz \(\displaystyle{ xy + xz + yz\neq0}\). Pokaż że

\(\displaystyle{ \frac {1}{x^2 - xy + y^2} + \frac {1}{y^2 - yz + z^2} + \frac {1}{z^2 - zx + x^2} \geq 3}\)

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

[Nierówności] wykazanie nierówności III

Post autor: timon92 » 9 wrz 2011, o 12:36

z uwagi na cykliczność możemy założyć, że \(\displaystyle{ x}\) jest najmniejszą spośród liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\)

wówczas:
\(\displaystyle{ 2 = x^2+y^2+z^2 \ge y^2+z^2 \implies \frac{6}{y^2+z^2} \ge 3 \\ x \le y \implies \frac{1}{x^2-xy+y^2} \ge \frac{1}{y^2} \\ x \le z \implies \frac{1}{x^2-xz+z^2} \ge \frac{1}{z^2}}\)

zatem wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{y^2-yz+z^2} \ge \frac{6}{y^2+z^2}}\)

po wymnożeniu przez mianowniki i zwinięciu dostajemy równoważną postać \(\displaystyle{ (y-z)^2\cdot \left( (y-z)^2(y^2+3yz+z^2) + 3y^2z^2 \right) \ge 0}\)

ODPOWIEDZ