Jeśli prawda, że żaden zbiór nie jest swoim własnym..

[celtrun]

Jeśli prawda, że żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem, to:
1. każdy zbiór może być swoim własnym zbiorem, prawda/fałsz
2. element nie może być zbiorem, ale zbiór może zawierać zbiory prawda/fałsz
3. nieprawda, że zbiór może zawierać zarówno zbiory i elementy obok siebie prawda/fałsz

[Jan Kraszewski]

Ad 1. Nie tylko może być, ale jest (i nie zależy to od wstępnego założenia).
Ad 2. Istnieją zbiory, których elementami są zbiory. Zbiór zawiera wyłącznie zbiory.
Ad 3. Niejasne sformułowanie (co to znaczy "zawierać elementy"?). Zbiór zawiera swoje podzbiory i należą do niego jego elementy i tej terminologii warto się trzymać.

Popatrz na np. zbiór \(\displaystyle{ \{\emptyset, \{\emptyset\}\}}\). Wtedy zbiór \(\displaystyle{ \{\emptyset\}}\) jest równocześnie jego elementem i jego podzbiorem. Może o coś takiego Ci chodziło?

JK

[Piotr Pstragowski]

2. element nie może być zbiorem, ale zbiór może zawierać zbiory prawda/fałsz
3. nieprawda, że zbiór może zawierać zarówno zbiory i elementy obok siebie prawda/fałsz

Są teorie mnogości, w których dopuszcza się, by elementem zbioru było coś innego od zbioru. Taki "obiekt" nie będący zbiorem nazywa się urelementem i nawet pierwsze wersje teorii mnogości Zermelo zawierały takie elementy.

Obecnie przyjęta teoria mnogości zakłada, że elementami zbiorów mogą być tylko zbiory.

[celtrun]

Skoro zbiór zawiera wyłącznie zbiory, to czy są takie zbiory, które różnią się między sobą właściwościami? A jeśli tak, to dlaczego?

To mam rozumieć, że nie mogę do takiego zbioru dodać jedynki w taki sposób \(\displaystyle{ \{\emptyset, \{\emptyset\}, 1\}}\)? Ale że mogę \(\displaystyle{ \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}\}}\)? Czy może tak:
\(\displaystyle{ \{\emptyset, \{\emptyset, 1\}\}}\)

[Jan Kraszewski]

Są teorie mnogości, w których dopuszcza się, by elementem zbioru było coś innego od zbioru. Taki "obiekt" nie będący zbiorem nazywa się urelementem i nawet pierwsze wersje teorii mnogości Zermelo zawierały takie elementy.

Obecnie przyjęta teoria mnogości zakłada, że elementami zbiorów mogą być tylko zbiory.

Dokładniej, w naiwnej teorii mnogości (to oficjalna nazwa), w której uprawia się zdecydowaną większość matematyki, urelementy są czymś powszechnym - chyba nikt normalny nie uważa, że liczba \(\displaystyle{ \pi}\) to zbiór...

Natomiast aksjomatyczna teoria mnogości, która powstała jako odpowiedź na paradoksy, pojawiające się w naiwnej teorii mnogości, istotnie przyjmuje, że jedyne istniejące obiekty to zbiory, co nie przeszkadza temu, że w tym świecie można odtworzyć całą matematykę.

Skoro zbiór zawiera wyłącznie zbiory, to czy są takie zbiory, które różnią się między sobą właściwościami? A jeśli tak, to dlaczego?

A co to ma do rzeczy? Niezupełnie rozumiem, o co Ci chodzi.

To mam rozumieć, że nie mogę do takiego zbioru dodać jedynki w taki sposób \(\displaystyle{ \{\emptyset, \{\emptyset\}, 1\}}\)? Ale że mogę \(\displaystyle{ \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}\}}\)?

Możesz zrobić jedno i drugie. Dlaczego nie?

JK

[celtrun]

Natomiast aksjomatyczna teoria mnogości, która powstała jako odpowiedź na paradoksy, pojawiające się w naiwnej teorii mnogości, istotnie przyjmuje, że jedyne istniejące obiekty to zbiory, co nie przeszkadza temu, że w tym świecie można odtworzyć całą matematykę.

\(\displaystyle{ \{1, \{1\}, \{\emptyset\}\}}\) to wtedy drugi element z tej formuły jest \(\displaystyle{ \{1, \{1\}, \{\emptyset\}\}}\), a więc tym samym co pierwsza formuła? Ale jeśli już damy \(\displaystyle{ \{1, 1, \{\emptyset\}\}}\)to drugi element nie jest tym samym co poprzedzająca go formuła, ponieważ nie jest on zbiorem.

A co do mojego pytania to jeszcze chyba muszę poczekać i je zadać na nowo, ale poprawione.
A takie pytanie, czy liczba jest zbiorem?


Ps przepraszam za edycje tego posta. LaTeX ćwiczę.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \{1, \{1\}, \{\emptyset\}\}}\) to wtedy drugi element z tej formuły jest \(\displaystyle{ \{1, \{1\}, \{\emptyset\}\}}\), a więc tym samym co pierwsza formuła? Ale jeśli już damy \(\displaystyle{ \{1, 1, \{\emptyset\}\}}\)to drugi element nie jest tym samym co poprzedzająca go formuła, ponieważ nie jest on zbiorem.

W tym miejscu słowo formuła niezbyt pasuje. I, szczerze mówiąc, zupełnie nie wiem, o co Ci chodzi.

Jedyne, co mogę stwierdzić, to:

Zbiór \(\displaystyle{ \{1, \{1\}, \{\emptyset\}\}}\) ma trzy elementy: \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ \{1\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{\emptyset\}}\). Zbiór \(\displaystyle{ \{1, 1, \{\emptyset\}\}}\) jest nieelegancko zapisany, powinno być \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\) i wtedy ma on dwa elementy: \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ \{\emptyset\}}\).

Odpowiedź na pytanie, czy liczba jest zbiorem, zależy od kontekstu.

JK

[celtrun]

Bo mi chodziło, że jeśli jest taki zbiór: \(\displaystyle{ \{\{1\}, \{\emptyset\}\}}\), to pierwszy jego element jest zbiorem zawierającym \(\displaystyle{ \{\{1\}, \{\emptyset\}\}}\), a jeśli byłoby tak: \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\), to jedynka nie jest zbiorem, ale elementem który nie równa się \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\) ani \(\displaystyle{ \{\{1\}, \{\emptyset\}\}}\), bo te dwie 'formuły' to zbiory.

I tak zapytałem czy może liczba sama nie jest czasem zbiorem, bo jeśli tak to \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\) mogłoby przez pierwszy element prowadzić do \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\), ponieważ jeśli by taka jedynka była zbiorem przez samo to że jest, to nie trzeba by jej ubierać w "{}". Ale wtedy też raczej wystarczyłoby zbiór pusty oznaczać przez samo 0.

[Adifek]

Przede wszystkim niezależnie od tego czy uznamy liczbę za zbiór czy nie (aksjomatyczna TM/naiwna TM - jak tłumaczył Jan Kraszewski) mamy, że \(\displaystyle{ 1 \neq \{1\}}\), bo \(\displaystyle{ 1}\) to pewien obiekt (nie ważne czy czy zbiór czy liczba czy krzesło), natomiast \(\displaystyle{ \{1\}}\) to zbiór zawierający ten obiekt. Tak więc nawet jeśli \(\displaystyle{ 1}\) uznajemy za zbiór, to \(\displaystyle{ \{1,\{\varnothing\}\} \neq \left\{ \left\{ 1\right\},\left\{ \varnothing\right\} \right\}}\).

[celtrun]

Zbiory ze zbiorami, zbiory z niezbiorami, zbiory ze zbiorami i z obiektami itd. itd. Idę spać póki co, bo już straciłem wątek od tej plątaniny. Ale, jeszcze tu wrócę

[Jan Kraszewski]

Bo mi chodziło, że jeśli jest taki zbiór: \(\displaystyle{ \{\{1\}, \{\emptyset\}\}}\), to pierwszy jego element jest zbiorem zawierającym \(\displaystyle{ \{\{1\}, \{\emptyset\}\}}\), a jeśli byłoby tak: \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\), to jedynka nie jest zbiorem, ale elementem który nie równa się \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\) ani \(\displaystyle{ \{\{1\}, \{\emptyset\}\}}\), bo te dwie 'formuły' to zbiory.

Musisz uporządkować używanie terminologii.

Jeśli masz taki zbiór: \(\displaystyle{ \{\{1\}, \{\emptyset\}\}}\), to pierwszy jego element to zbiór \(\displaystyle{ \{1\}}\), a drugi to zbiór \(\displaystyle{ \{\emptyset\}}\). Jeśli masz taki zbiór: \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\), to jego pierwszym elementem jest liczba \(\displaystyle{ 1}\), a drugim zbiór \(\displaystyle{ \{\emptyset\}}\).

JK

[Piotr Pstragowski]

Natomiast aksjomatyczna teoria mnogości, która powstała jako odpowiedź na paradoksy, pojawiające się w naiwnej teorii mnogości, istotnie przyjmuje, że jedyne istniejące obiekty to zbiory, co nie przeszkadza temu, że w tym świecie można odtworzyć całą matematykę.

Nie to miałem na myśli. Rozważa się aksjomatyczne teorie mnogości z urelementami, np. albo NFU, więc aksjomatyczność i urelementy się nie wykluczają.

[celtrun]

Jeśli masz taki zbiór: \(\displaystyle{ \{\{1\}, \{\emptyset\}\}}\), to pierwszy jego element to zbiór \(\displaystyle{ \{1\}}\), a drugi to zbiór \(\displaystyle{ \{\emptyset\}}\). Jeśli masz taki zbiór: \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\), to jego pierwszym elementem jest liczba \(\displaystyle{ 1}\), a drugim zbiór \(\displaystyle{ \{\emptyset\}}\).

\(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\) - to jest nie po aksjomatyce ZF, bo tutaj ta jedynka nie jest zbiorem, a w ZF są tylko zbiory. Czy jest w końcu?

[Jan Kraszewski]

Nie to miałem na myśli. Rozważa się aksjomatyczne teorie mnogości z urelementami, np. albo NFU, więc aksjomatyczność i urelementy się nie wykluczają.

Rozumiem. Tym niemniej rozważanie sytuacji z elementami zbiorów, nie będącymi zbiorami bardziej kojarzy mi się z "typową matematyką" czyli naive ST

\(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\) - to jest nie po aksjomatyce ZF, bo tutaj ta jedynka nie jest zbiorem, a w ZF są tylko zbiory. Czy jest w końcu?

Ten zapis jest akurat zdecydowanie bliższy nieaksjomatycznej (naiwnej) teorii mnogości, co nie znaczy, że w teorii aksjomatycznej ZF nie ma sensu. Jak najbardziej ma, tyle, że w ZF jedynka jest po prostu definiowana jako \(\displaystyle{ \{\emptyset\}}\), w związku z tym w teorii aksjomatycznej \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}=\{1\}}\), zatem nikt nie użyłby zapisu \(\displaystyle{ \{1, \{\emptyset\}\}}\).

JK