Znaleźć charakterystykę ciał.

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Ola964
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

Znaleźć charakterystykę ciał.

Post autor: Ola964 » 8 wrz 2011, o 21:54

Dane jest ciało \(\displaystyle{ K = \mathbb{Z}_{5} / (x^{2} + 2)}\). Wskazać ciało \(\displaystyle{ F}\) takie, że \(\displaystyle{ F \subset K}\) oraz \(\displaystyle{ \left| F \right|}\) ostro większe od \(\displaystyle{ 1}\). Znaleźć charakterystykę ciał \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ K}\) oraz stopień rozszerzenia \(\displaystyle{ [K:F]}\).

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ F = \mathbb{Z}_{5}}\)

\(\displaystyle{ chF = chK = 5}\)

\(\displaystyle{ [K:F] = 5}\)

Czy jest ono dobre?
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2011, o 22:33 przez Ola964, łącznie zmieniany 1 raz.

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Znaleźć charakterystykę ciał.

Post autor: Piotr Pstragowski » 8 wrz 2011, o 22:30

Niedobrze. Twoje \(\displaystyle{ F}\) po pierwsze nie jest ciałem, bo element \(\displaystyle{ x}\) nie jest w tym pierścieniu odwracalny, po drugie nie jest podpierścieniem \(\displaystyle{ K}\). (Nakrywa ten pierścień.)

Zastanów się, ile elementów ma \(\displaystyle{ K}\) i jakiej mocy jest ciało generowane w \(\displaystyle{ K}\) przez jedynkę.

Zwracam też Twoją uwagę, że założenie \(\displaystyle{ |F| > 1}\) jest niepotrzebne, bo ciało z definicji ma elementy 0 i 1 i są one różne.

Ola964
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

Znaleźć charakterystykę ciał.

Post autor: Ola964 » 8 wrz 2011, o 22:34

Poprawiłam swój poprzedni post. Czy teraz jest dobrze? \(\displaystyle{ F = \mathbb{Z}_{5}}\)

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Znaleźć charakterystykę ciał.

Post autor: Piotr Pstragowski » 8 wrz 2011, o 22:41

\(\displaystyle{ F}\) wybrałaś dobrze, ale zastanów się, ile elementów ma \(\displaystyle{ K}\), a ile \(\displaystyle{ F}\). Czy na pewno dobrze policzyłaś stopień rozszerzenia?

(Zwracam Twoją uwagę, że jeśli \(\displaystyle{ |k| = p}\), to \(\displaystyle{ k^n = p^n}\)).

Ola964
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

Znaleźć charakterystykę ciał.

Post autor: Ola964 » 8 wrz 2011, o 22:46

\(\displaystyle{ [K:F] = 2}\) a \(\displaystyle{ chF = 5}\) to raczej na pewno.
\(\displaystyle{ chK = 7}\) tego nie jestem pewna.

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Znaleźć charakterystykę ciał.

Post autor: Piotr Pstragowski » 8 wrz 2011, o 22:55

Stopień teraz dobrze. Ale charakterystyka była dobrze na początku.

Aby upewnić się, że rozumiesz, spróbuj pokazać, że jeśli jedno ciało zawiera się w drugim, to mają tę samą charakterystykę.

Ola964
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 9 cze 2011, o 15:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

Znaleźć charakterystykę ciał.

Post autor: Ola964 » 8 wrz 2011, o 23:05

Ok, czyli rozumiem, że \(\displaystyle{ chK = chF = 5}\) jest poprawną odpowiedzią?

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Znaleźć charakterystykę ciał.

Post autor: Piotr Pstragowski » 9 wrz 2011, o 00:00

Tak.

ODPOWIEDZ