Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
roobson93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 13:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: roobson93 » 8 wrz 2011, o 21:30

Cześć, nie mogę sobie poradzić z paroma zadaniami z równań wykładniczych i jednym z nierówności.
Polecenie to - oblicz \(\displaystyle{ x}\) (lub \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\))
Proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ 1. \ \left( 3-2 \sqrt{2} \right) ^{x} + \left( 3+2 \sqrt{2} \right) ^{x} = 6 ^{x} \\ 2. \ \left( \sqrt{4 + \sqrt{15} } \right) ^{x} + \left( \sqrt{4 - \sqrt{15} } \right) ^{x} = \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{x} \\ 3. \ \left( \frac{1}{36} \right) ^{x - 4} + 36 > 37 \cdot \left( \frac{1}{6} \right) ^{x - y}}\)
Nie wiem nawet zbyt jak się do nich zabrać. Potrzebne mi jest rozwiązanie bez użycia logarytmów.
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2011, o 21:42 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Skalowanie nawiasów. Jedne tagi [latex][/latex] na całe wyrażenie.

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: fon_nojman » 8 wrz 2011, o 23:03

Na oko widać.

1) \(\displaystyle{ x=1}\)

2) \(\displaystyle{ x=2.}\)

roobson93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 13:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: roobson93 » 8 wrz 2011, o 23:16

Niestety ale ja tego nie widze ;/

tatteredspire
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 74 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: tatteredspire » 8 wrz 2011, o 23:20

Widać, że te liczby spełniają równanie, ale jeszcze trzeba wykazać, że jakakolwiek inna liczba nie spełnia, a w tym tkwi największy problem.

Awatar użytkownika
zidan3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 112 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: zidan3 » 9 wrz 2011, o 00:02

\(\displaystyle{ \left( 3-2 \sqrt{2}\right) \left( 3+2 \sqrt{2}\right) =1 \\ 3-2 \sqrt{2}= \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ \left( 3-2 \sqrt{2}\right) ^x+\left( 3+2 \sqrt{2}\right) ^x=6^x \\ t=\left( 3+2 \sqrt{2}\right)^x \\ t+ \frac{1}{t} =6^x}\)
chyba cos w tym stylu, teraz nie mam głowy do tego.
Mam nadzieje, ze cos podpowiedzialem
Jakby było \(\displaystyle{ 6}\) zamiast \(\displaystyle{ 6^x}\) to wystarczy rozwiazac równanie kwadratowe.

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: fon_nojman » 9 wrz 2011, o 00:15

Sprytne zidan3, dokańczając

\(\displaystyle{ 6=t+\frac{1}{t}}\)

\(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}=\left(t+\frac{1}{t}\right)^x}\)

\(\displaystyle{ \left(t+\frac{1}{t}\right)^{x-1}=1.}\)

Awatar użytkownika
zidan3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 112 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: zidan3 » 9 wrz 2011, o 00:18

Własnie o taka koncowke mi chodzilo, ale jakos tempy jestem o tej porze.
Owszem, dostyc sprytny trick. Z przyjemnoscia takie zapamietuje

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: fon_nojman » 9 wrz 2011, o 09:27

2) Robimy tak jak pierwsze, wygodnie jest podstawić \(\displaystyle{ x=2t.}\)

3) Przekształcam

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}\left(\frac{1}{6}\right)^8+36>37\left(\frac{1}{6}\right)^x\left(\frac{1}{6}\right)^{-y} //\cdot6^x}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{6}\right)^8\left(\frac{1}{6}\right)^x+36\left(\frac{1}{6}\right)^x>37\left(\frac{1}{6}\right)^{-y}}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{6}\right)^x\left(\left(\frac{1}{6}\right)^8+36\right)>37\left(\frac{1}{6}\right)^{-y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left(\frac{1}{6}\right)^8+36}{37}>6^{x+y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+6^{10}}{37\cdot6^8}>6^{x+y}}\)

i nie wiem jak dalej. Nie ma błędu w przykładzie?

pawelsuz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BK
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 40 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: pawelsuz » 9 wrz 2011, o 10:29

fon_nojman pisze:Sprytne zidan3, dokańczając

\(\displaystyle{ 6=t+\frac{1}{t}}\)
...
skąd to?

tatteredspire
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 74 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: tatteredspire » 9 wrz 2011, o 11:04

Ja prawdę mówiąc też tego przejścia nie rozumiem. Dlaczego waszym zdaniem \(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}=6}\) nie wpływa na liczbę rozwiązań równania wyjściowego?

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Rozwiąż równanie wykładnicze. + (1 nierówność)

Post autor: fon_nojman » 9 wrz 2011, o 15:02

Jest błąd ale idea dobra

\(\displaystyle{ t=\left(3+2\sqrt2\right), \frac{1}{t}=\left(3-2\sqrt2\right), t+\frac{1}{t}=6}\)

\(\displaystyle{ t^x+\frac{1}{t^x}=(t+\frac{1}{t})^x\ //\cdot t^x}\)

\(\displaystyle{ t^{2x}+1=(t^2+1)^x}\)

\(\displaystyle{ (t^2+1)^x-t^{2x}=1.}\)

Widać jak na dłoni, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=1.}\) Czy jest więcej rozwiązań? Nie ma, rozważmy dwa przypadki

1) \(\displaystyle{ x<0}\) wtedy

\(\displaystyle{ (t^2+1)^x-t^{2x}<1-t^{2x}<1.}\)

2) Pokażemy, że dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) funkcja \(\displaystyle{ (t^2+1)^x-t^{2x}}\) jest (silnie) rosnąca.

\(\displaystyle{ (t^2+1)^{x+\varepsilon}-(t^2)^{x+\varepsilon}=(t^2+1)^x(t^2+1)^{\varepsilon}-(t^2)^x(t^2)^{\varepsilon}>(t^2)^{\varepsilon}((t^2+1)^x-(t^2)^x) \ge (t^2+1)^x-(t^2)^x, \varepsilon>0.}\)

ODPOWIEDZ