Trójkąt zawarty w trapezie

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
macius0678
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 8 wrz 2011, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 3 razy

Trójkąt zawarty w trapezie

Post autor: macius0678 » 8 wrz 2011, o 21:08

Cześc,

mam problem z tym zadaniem:
1. Prostokąt ABCD i trójkąt równoboczny ABE są położone tak jak na rysunku. Bok AB prostokąta ma długość 30 cm, a bok BC ma długość 15 cm. Bok CD prostokąta przecina boki AE i BE trójkąta w punktach M i N. Jakie jest pole czworokąta ABNM ?

Na początku obliczyłbym wysokość tego dużego trójkąta i odjął od niej 15 cm - mialbym wysokosc mniejszego trójkąta. Mniejszy trójkat "wydaje sie byc" rownoboczny wiec wyliczyłbym jego bok jakbym znal jego wysokosc - mialbym wszystkie dane do obliczenia pola trapezu... Jednak okazalo sie ze ten pomysł nie wypalił. Jak wiec mam to rozwiązac ? ;/

ekonomistapn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 31 sie 2011, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2 razy

Trójkąt zawarty w trapezie

Post autor: ekonomistapn » 8 wrz 2011, o 21:14

macius0678 pisze: Na początku obliczyłbym wysokość tego dużego trójkąta i odjął od niej 15 cm - mialbym wysokosc mniejszego trójkąta. Mniejszy trójkat "wydaje sie byc" rownoboczny wiec wyliczyłbym jego bok jakbym znal jego wysokosc - mialbym wszystkie dane do obliczenia pola trapezu... Jednak okazalo sie ze ten pomysł nie wypalił. Jak wiec mam to rozwiązac ? ;/
Dlaczego ten pomysł nie wypalił? Moim zdaniem dobry tok myślenia, tym bardziej, że "ten mniejszy trójkąt" jest równoboczny.

macius0678
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 8 wrz 2011, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 3 razy

Trójkąt zawarty w trapezie

Post autor: macius0678 » 8 wrz 2011, o 21:24

\(\displaystyle{ h = \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ h = \frac{30 \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ h = 15 \sqrt{3}}\)

To jest wysokosc duzego, teraz chce obliczyc bok mniejszego trójkąta.

\(\displaystyle{ 15 \sqrt{3} - 15 = \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 30 \sqrt{3} - 30 = a \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{30 \sqrt{3} - 30}{\sqrt{3}} = a}\)

W ostatnim równaniu pierwiastki sie zredukują i wyjdzie na to ze a = 0...

ekonomistapn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 31 sie 2011, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2 razy

Trójkąt zawarty w trapezie

Post autor: ekonomistapn » 8 wrz 2011, o 21:31

macius0678 pisze: \(\displaystyle{ \frac{30 \sqrt{3} - 30}{\sqrt{3}} = a}\)

W ostatnim równaniu pierwiastki sie zredukują i wyjdzie na to ze a = 0...
Nie, pierwiastki tu się nie zredukują nie możesz skrócić tylko części licznika z mianownikiem, usuń niewymierność przez pomnożenie ułamka przez:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }}\)

macius0678
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 8 wrz 2011, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 3 razy

Trójkąt zawarty w trapezie

Post autor: macius0678 » 8 wrz 2011, o 21:40

To co, to to będzie wyglądało tak: \(\displaystyle{ 30 \sqrt{3} - 30 \cdot \sqrt{3}}\) ;/ ?

ekonomistapn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 31 sie 2011, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2 razy

Trójkąt zawarty w trapezie

Post autor: ekonomistapn » 8 wrz 2011, o 21:47

\(\displaystyle{ \frac{30 \sqrt{3} - 30}{ \sqrt{3} } \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \ = \frac{30 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 30 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} } = \ = \frac{90 - 30 \sqrt{3} }{3} = 30 - 10 \sqrt{3}}\)

mkacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 4 lis 2010, o 16:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska :)
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3 razy

Trójkąt zawarty w trapezie

Post autor: mkacz » 9 wrz 2011, o 08:36

Można też wykorzystać podobieństwo trójkątów do rozwiązania tego zadania.

Ozn:
\(\displaystyle{ h_{1}}\) - wysokość małego trójkąta
\(\displaystyle{ H}\)- wysokość dużego trójkąta
\(\displaystyle{ \left| MN\right|}\) - długość odcinka MN
\(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) - długość odcinka AB

I wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{ h_{1} }{ \frac{1}{2} \left| MN\right|} = \frac{H}{ \frac{1}{2}\left| AB\right| }}\)

A stąd już o rzut beretem do końca zadania

ODPOWIEDZ