[Nierówności] wykazanie nierówności II

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

[Nierówności] wykazanie nierówności II

Post autor: darek20 » 8 wrz 2011, o 19:56

Dla \(\displaystyle{ x,y,z\in (0,1]}\) pokaż ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leq\frac{5}{x+y+z}}\)

Awatar użytkownika
kp1311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarzecze
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 49 razy

[Nierówności] wykazanie nierówności II

Post autor: kp1311 » 8 wrz 2011, o 21:05

Po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ (x+y+z)}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{1+xy}+\frac{y+z}{1+yz}+\frac{z+x}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} \le 5}\).

\(\displaystyle{ (1-x)(1-y) \ge 0}\) zatem: \(\displaystyle{ \frac{x+y}{1+xy} \le 1}\).

Wykażemy teraz że: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} \le 2}\) (dowód pochodzi z ,,Wędrówek po krainie nierówności")
Możemy bez straty ogólności przyjąc że największą spośród liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest \(\displaystyle{ x}\) Wówczas: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} - 2 \le \frac{x}{yz+1} + \frac{y}{yz+1} + \frac{z}{yz+1} -2 = \frac{(y-1)(1-z)+(x-1)-yz}{yz+1} \le 0}\)
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2011, o 13:26 przez kp1311, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

[Nierówności] wykazanie nierówności II

Post autor: timon92 » 8 wrz 2011, o 21:18

lub inaczej:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
kp1311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarzecze
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 49 razy

[Nierówności] wykazanie nierówności II

Post autor: kp1311 » 8 wrz 2011, o 21:23

,,łatwo sprawdzić, że przy oddalaniu którychś dwóch liczb z zachowaniem ich sumy prawa strona zostaje stała, a lewa rośnie"

Dowód by się przydał

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

[Nierówności] wykazanie nierówności II

Post autor: timon92 » 8 wrz 2011, o 21:32

to serio jest łatwe do sprawdzenia ;d

wiadomo, że przy oddalaniu dwóch liczb z zachowaniem sumy iloczyn maleje; wiedząc to widać, że poniższe wyrażenie wzrośnie (oddalamy x i z):

\(\displaystyle{ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1} = \frac{y(x+z)+2}{y^2xz + y(x+z)+1} + \frac{1}{zx+1}}\)

pawelsuz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BK
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 40 razy

[Nierówności] wykazanie nierówności II

Post autor: pawelsuz » 8 wrz 2011, o 21:58

kp1311 pisze: Możemy bez straty ogólności przyjąc że największą spośród liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest \(\displaystyle{ x}\) Wówczas: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} - 2 \le \frac{x}{xy+1} + \frac{y}{xy+1} + \frac{z}{xy+1} -2 = \frac{(y-1)(1-z)+(x-1)-yz}{xy+1} \le 0}\)
Po oszacowaniu mianownik powinien być \(\displaystyle{ 1+yz}\), a nie \(\displaystyle{ 1+xy}\). Chyba pomyłka przy przepisywaniu z wędrówek:)

Awatar użytkownika
kp1311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 475
Rejestracja: 20 maja 2009, o 15:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarzecze
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 49 razy

[Nierówności] wykazanie nierówności II

Post autor: kp1311 » 9 wrz 2011, o 13:27

Dokładnie tak, już poprawiłem

ODPOWIEDZ