Dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina - czy poprawny?

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Herostrates
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 28 sie 2011, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 5 razy

Dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina - czy poprawny?

Post autor: Herostrates » 8 wrz 2011, o 19:08

Witam, czy następujący dowód jest poprawny?

Chcemy udowodnić, że jeśli
\(\displaystyle{ A \subseteq l B}\) i
\(\displaystyle{ B \subseteq l A}\) to \(\displaystyle{ A =l B}\)

Zakładamy, że
\(\displaystyle{ A \subseteq l B}\) i \(\displaystyle{ B \subseteq l A.}\) Muszą istnieć iniekcje \(\displaystyle{ f: A \rightarrow B}\) i\(\displaystyle{ g: B \rightarrow A.}\)
Na mocy twierdzenia Banacha istnieje rozbicie
\(\displaystyle{ A1, A2, B1, B2}\) takie, że \(\displaystyle{ A1 \cap A2 = B1 \cap B2 = \emptyset , A1 \cup A2 = A, B1 \cup B2 = B, f(A1) = B1, g(B2)= A2}\)
Definiujemy biekcję
\(\displaystyle{ h: A \rightarrow B}\) w następujący sposób:
\(\displaystyle{ h(a) = f(a)}\) gdy \(\displaystyle{ a \in A1 i h(a) = g ^{-1},}\) gdy \(\displaystyle{ a \in A2}\)
co kończy dowód.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26948
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4507 razy

Dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina - czy poprawny?

Post autor: Jan Kraszewski » 8 wrz 2011, o 22:20

Notacja dość dziwaczna, ale poprawnie (choć wypadałoby sprawdzić, że \(\displaystyle{ h}\) istotnie jest bijekcją). Tyle, że trzeba mieć udowodnione tw. Banacha...

JK

ODPOWIEDZ