układ równań

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kalik

układ równań

Post autor: kalik » 8 wrz 2011, o 18:18

Dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\) układ równań zmiennych rzeczywistych
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} x_{1} & & &+x_{4} &=0 \\ 2x_{1} &+x_{2} &+x_{3} & &=0 \\ & -x_{2} &+x_{3} & &=0 \\ -x_{1}& &+x_{3} &+\alpha x_{4} &=0 \end{matrix}\right.}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2823
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 354 razy

układ równań

Post autor: Afish » 8 wrz 2011, o 18:20

W którym momencie masz problem?

kalik

układ równań

Post autor: kalik » 8 wrz 2011, o 18:41

Policzyłem wyznacznik, który wynosi \(\displaystyle{ 2\alpha +4}\). Z tego \(\displaystyle{ \alpha =-2}\).
Dalej liczę wyznacznik macierzy uzupełnionej?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

układ równań

Post autor: aalmond » 8 wrz 2011, o 18:55

\(\displaystyle{ \alpha = -1}\)
Dalej liczę wyznacznik macierzy uzupełnionej?
Nie da się. Nic już więcej nie trzeba liczyć.

kalik

układ równań

Post autor: kalik » 8 wrz 2011, o 20:05

aalmond pisze:\(\displaystyle{ \alpha = -1}\)
Dlaczego \(\displaystyle{ \alpha = -1}\)? Z moich obliczeń wynika że \(\displaystyle{ \alpha = -2}\)
Jaka jest ogólna reguła postępowania w tego typu zadaniach? Czy wystarczy że policzę wyznacznik główny? W jakim przypadku musiałbym liczyć rzędy macierzy układu i macierzy uzupełnionej?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

układ równań

Post autor: aalmond » 8 wrz 2011, o 20:21

Z moich obliczeń wynika że \(\displaystyle{ \alpha = -2}\)
Sorry. Masz rację. Zamieszałem.
Wyznacznik główny równy zero oznacza, że mamy do czynienia z układem nieoznaczonym albo sprzecznym. W przypadku układu jednorodnego (tak jak tutaj) układ sprzeczny nie wchodzi w grę.
W jakim przypadku musiałbym liczyć rzędy macierzy układu i macierzy uzupełnionej?
Gdybyś np. chciał skorzystać z Twierdzenie Kroneckera-Capellego

kalik

układ równań

Post autor: kalik » 8 wrz 2011, o 20:25

Czyli w układach jednorodnych nie korzysta się z tego twierdzenia, natomiast w układach niejednorodnych należy skorzystać, tak?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

układ równań

Post autor: aalmond » 8 wrz 2011, o 20:37

W układzie jednorodnym rzędy macierzy głównej i rozszerzonej są równe, więc zawsze jest rozwiązanie.

ODPOWIEDZ