Wyznaczyć moment statyczny - funkcje z parametrem t

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
sintom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 20 lip 2010, o 09:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Wyznaczyć moment statyczny - funkcje z parametrem t

Post autor: sintom » 8 wrz 2011, o 15:01

Zadanie z książki Krysicki/Włodarski.

Wyznaczyć moment statyczny względem osi Ox i Oy pola ograniczonego krzywą

\(\displaystyle{ x=t^2-t}\)
\(\displaystyle{ y=t^3+t^2}\)

i osią Ox.

Podany wzór w książce to:
\(\displaystyle{ M_{x}= \frac{1}{2} p \int_{a}^{b} y^2dx}\)

Moment statyczny względem osi Ox wychodzi jak trzeba:
\(\displaystyle{ dx = (2t-1) dt}\)

\(\displaystyle{ y = 0}\) dla \(\displaystyle{ t = < -1, 0 >}\)

\(\displaystyle{ M_{x} = \frac{1}{2}p \int_{-1}^{0} (t^3+t^2)^{2}(2t-1)dt}\)

\(\displaystyle{ M_{x} = \frac{1}{2}p \left[ \frac{1}{4}t^8 + \frac{3}{7}t^7 - \frac{1}{5}t^5 \right] _{-1}^{0}}\)

ale gdy podobnie chce policzyc dla \(\displaystyle{ M_{y}}\) to juz mi nie wychodzi a robię to tak:

Zamieniam trochę podany wzór z książki i otrzymuję
\(\displaystyle{ M_{y}= \frac{1}{2} p \int_{a}^{b} x^2dy}\)

\(\displaystyle{ dy = (3t^2+2t) dt}\)

\(\displaystyle{ M_{y} = \frac{1}{2}p \int_{-1}^{0} (t^2-t)^2(3t^2-2t)dt}\)

\(\displaystyle{ M_{y} = \frac{1}{2}p \left[ \frac{3}{7}t^7 - \frac{2}{3}t^6 - \frac{1}{5}t^5 + \frac{1}{2}t^4 \right] _{-1}^0}\)

A powinno wyjść (przynajmniej tak jest w książce):
\(\displaystyle{ M_{y} = p \left[ \frac{2}{7}t^7 - \frac{1}{6}t^6 - \frac{2}{5}t^5 + \frac{1}{4}t^4 \right] _{-1}^{0} = \frac{28}{420}}\)


Jak zrobić moment statyczny względem osi Oy? (dodam że nie było jeszcze całki podwójnej).

ODPOWIEDZ