Na ile sposobów można wystawić ocenę

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
wolkow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 wrz 2011, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Na ile sposobów można wystawić ocenę

Post autor: wolkow » 8 wrz 2011, o 13:26

Zadanie: 5 studentów zdaje egzamin. Żaden z nich nie otrzyma oceny 2. Iloma sposobami można wystawić im oceny 3, 4 i 5?

Nie jestem pewien czy dobrze rozumiem o co chodzi z funkcjami tworzącymi, ale zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ (1+3x)^5=1+15x+90x^2+270x^3+405x^4+243x^5}\)

W nawiasie \(\displaystyle{ 1+3x}\) dlatego, że każdy może nie dostać nic albo dostać jedną z 3 ocen. Potem muszę rozpatrzyć wariant w którym wszyscy dostają ocenę, czyli ten z \(\displaystyle{ x^5}\) - a więc 243 to liczba sposobów? Załapałem, o co chodzi? Czy właśnie tak trzeba robić takie zadania?

chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Na ile sposobów można wystawić ocenę

Post autor: chris_f » 8 wrz 2011, o 17:20

Po co tak kombinować. Mamy do wyboru dla każdego studenta cztery możliwości:
0 - gdy nie dostaje nic, 3,4 lub 5 gdy dostaje ocenę. Stąd liczba możliwości to:
\(\displaystyle{ \bar{V}^5_4=4^5=1024}\).
Co do twojego rozwiązania, to zauważ, że \(\displaystyle{ 1+15+90+270+405+243=1024}\)

wolkow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 wrz 2011, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Na ile sposobów można wystawić ocenę

Post autor: wolkow » 8 wrz 2011, o 17:36

Dzięki, ale czy możliwości nie są przypadkiem tylko trzy? Bo w zadaniu jest, że każdy na pewno coś dostanie, nie ma wariantu że nie dostanie nic.

W sumie to jakby zmienić twój sposób i zastąpić czwórkę trójką, \(\displaystyle{ 3^5}\), to też wyjdzie 243. A co do mojego rozwiązania, to zadanie jest obok tych na funkcje tworzące i coś mi mówi, że "jedyne słuszne rozwiązanie" to to z ich wykorzystaniem Czyli mój sposób jest prawidłowy, chociaż trudniejszy?

ODPOWIEDZ