Proste równanie różniczkowe ogólne

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
unbearable
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 7 wrz 2011, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto

Proste równanie różniczkowe ogólne

Post autor: unbearable » 7 wrz 2011, o 20:05

Witam!
Zacząłem rozwiązywać równania różniczkowe. I mam sporo z nimi problemów. Chociażby z prostym układem równań jak to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y'= \frac{x+y}{x-y} \\ y(1)=2 \end{cases}}\)
próbowałem to rozwiązać metodą która nazywa się chyba metodą zmiennych rozdzielonych. Nie jestem pewien czy to dokładnie tak to się nazywa.
W każdym razie zamieniłem:
\(\displaystyle{ y'= \frac{dy}{dx}}\)
Pomnożyłem na krzyż, scałkowałem
i wyszła całkowita bzdura y=x. Co oczywiście jest nieprawidłowym wynikiem - sprawdzałem na wolfram'ie.
Proszę tylko o wskazówkę.

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Proste równanie różniczkowe ogólne

Post autor: lukasz1804 » 7 wrz 2011, o 20:09

To równanie nie jest o zmiennych rozdzielonych, lecz jednorodne.

unbearable
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 7 wrz 2011, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto

Proste równanie różniczkowe ogólne

Post autor: unbearable » 7 wrz 2011, o 20:31

Ok czyli robię to w ten sposób ?
\(\displaystyle{ \begin{cases} y'= \frac{x+y}{x-y} \\ y(1)=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y'= \frac{x+y}{x-y}:x \\ y(1)=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}y'= \frac{1+\frac{y}{x} }{1-\frac{y}{x}}}\)
\(\displaystyle{ u(x)= \frac{y(x)}{x}}\)
\(\displaystyle{ xu(x)=y(x)}\)
\(\displaystyle{ y'(x)=u(x)+xu'(x)}\)
\(\displaystyle{ u(x)+xu'(x)= \frac{1+u}{1-u}}\)
Czy to ma wyglądać w ten sposób ? Jeżeli wszystko, jest ok to co mam zrobić dalej ;>

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Proste równanie różniczkowe ogólne

Post autor: Karoll_Fizyk » 9 wrz 2011, o 13:41

To równanie nie jest o zmiennych rozdzielonych, lecz jednorodne.
To również nie jest równanie jednorodne, lecz równanie postaci:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = f\left( \frac{y}{x} \right)}\)

Aby dojść do takiej postaci, wystarczy, że:
1. Pomnożysz obustronnie równanie początkowe przez: \(\displaystyle{ x-y}\)
\(\displaystyle{ (x-y)y' = x+y}\)
2. Następnie dzielimy obustronnie przez zmienną \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \left( 1 - \frac{y}{x} \right) y' = 1 + \frac{y}{x}}\)
3. Podstawiasz \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\)
\(\displaystyle{ \left( u + x \cdot \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } \right) \left( 1 - u\right) = 1 + u}\)
\(\displaystyle{ x \cdot \frac{ \mbox{d}u }{ \mbox{d}x } = \frac{1+u}{1-u}}\) -> to jest dopiero równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych...
Dalej myślę, że sobie poradzisz... Pozdrawiam!

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Proste równanie różniczkowe ogólne

Post autor: » 9 wrz 2011, o 13:44

Karoll_Fizyk pisze:To również nie jest równanie jednorodne, lecz równanie postaci:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = f\left( \frac{y}{x} \right)}\)
Równanie takiej postaci nazywa się właśnie równaniem jednorodnym.

Q.

ODPOWIEDZ