Równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Mr_Nobody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 20:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: świat
Podziękował: 3 razy

Równanie zespolone

Post autor: Mr_Nobody » 7 wrz 2011, o 19:54

Witam,
Mam do obliczenia takie równanie:
\(\displaystyle{ z^{4}+1=0}\)
\(\displaystyle{ t^{2}+1=0}\)
\(\displaystyle{ t= \pm i}\)
\(\displaystyle{ z^{2}= \pm i}\)
\(\displaystyle{ z= \pm \sqrt[4]{-1}}\)
Czyli wróciłem do tego co miałem na początku...
Zapewne trzeba przejść najpierw do \(\displaystyle{ z=a+bi}\) a później do postaci trygonometrycznej \(\displaystyle{ z=\left| z\right| \left( \cos \varphi + i \sin \varphi\right)}\). Wiem też w których ćwiartkach sinus i cosinus są dodatnie a w których ujemne, jednak nie umiem połączyć tego wszystkiego w całość... Jakieś sugestie jak do tego podejść?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Równanie zespolone

Post autor: ares41 » 7 wrz 2011, o 20:06

można np. zacząć tak:
\(\displaystyle{ z^{4}+1=0 \Leftrightarrow z^4=-1}\)
i dalej ze wzoru na pierwiastki.

Ty też dobrze zacząłeś, tylko zapomniałeś rozwiązać równania \(\displaystyle{ z^2=-i}\)

Mr_Nobody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 20:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: świat
Podziękował: 3 razy

Równanie zespolone

Post autor: Mr_Nobody » 7 wrz 2011, o 20:40

Ok, więc:
\(\displaystyle{ z^{2}=-i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt{-i} \vee z= - \sqrt{-i}}\)

\(\displaystyle{ i^{2}=-1 \Rightarrow i= \sqrt{-1}}\)

\(\displaystyle{ z= \sqrt{- \sqrt{-1}} \vee z= \sqrt{ \sqrt{-1}}}\)

\(\displaystyle{ z = \sqrt[4]{-1} \vee z = -\sqrt[4]{-1}}\)

Czyli dalej stoimy w miejscu...

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Równanie zespolone

Post autor: ares41 » 7 wrz 2011, o 20:44

\(\displaystyle{ \sqrt{-i} \neq \sqrt[4]{-1}}\)
przelicz to korzystając ze wzoru na pierwiastki zespolone.

Mr_Nobody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 20:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: świat
Podziękował: 3 razy

Równanie zespolone

Post autor: Mr_Nobody » 7 wrz 2011, o 20:55

Mówimy o tym wzorze?
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\left| z \right|} \left( \cos\left( \frac{\varphi+2k \pi }{n} \right) +i\sin\left( \frac{\varphi+2k \pi }{n} \right) \right)}\)

Edit:
Czy tym :
\(\displaystyle{ z^{n}=\left| z\right|^{n}\left( \cos\left( n \varphi } \right) +i\sin\left( {n \varphi } \right) \right)}\)

Edit2:
\(\displaystyle{ \sqrt{- \sqrt{-1} } = (-1)^{ \frac{1}{2}}(-1)^{ \frac{1}{4}} = (-1)^{ \frac{3}{4}}}\)

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Równanie zespolone

Post autor: ares41 » 7 wrz 2011, o 21:18

Chodziło o ten pierwszy wzór. Ostatnie obliczenia są poprawne.
Reasumując: To równanie spełniają liczby :
\(\displaystyle{ (-1)^{\frac{3}{4}}, -(-1)^{\frac{3}{4}}, \sqrt[4]{-1 },- \sqrt[4]{-1 }}\)

Mr_Nobody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 20:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: świat
Podziękował: 3 razy

Równanie zespolone

Post autor: Mr_Nobody » 7 wrz 2011, o 21:26

A jak przejść z tego do postaci trygonometrycznej?
Najpierw moduł \(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}}\),

potem \(\displaystyle{ \frac{a}{\left| z\right|}=\cos \varphi}\) i \(\displaystyle{ \frac{b}{\left| z\right|}=\sin \varphi}\)
i podstawić do postaci trygonometrycznej?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Równanie zespolone

Post autor: ares41 » 7 wrz 2011, o 21:38

Najprościej to korzystając ze wzoru na pierwiastki dla równania wyjściowego:
\(\displaystyle{ z^4=-1\\u=-1 \\ |u|=1 \\ \sin\varphi = \frac{0}{1}=0 \ \ \cos\varphi= \frac{-1}{1}=-1 \\ \text{Arg}u=- \pi \\z_1= \sqrt[4]{1} \left( \cos{ \frac{- \pi }{4} }+i \sin{ \frac{- \pi }{4} }\right)= \frac{ \sqrt{2}-i \sqrt{2} }{2}}\)
Kolejne pierwiastki liczysz podobnie.

Mr_Nobody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 20:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: świat
Podziękował: 3 razy

Równanie zespolone

Post autor: Mr_Nobody » 7 wrz 2011, o 21:41

Wielkie dzięki

abc666

Równanie zespolone

Post autor: abc666 » 8 wrz 2011, o 15:11

ares41 pisze:Reasumując: To równanie spełniają liczby :
\(\displaystyle{ (-1)^{\frac{3}{4}}, -(-1)^{\frac{3}{4}}, \sqrt[4]{-1 },- \sqrt[4]{-1 }}\)
Tutaj mamy trochę nieprawdy :p

ODPOWIEDZ