Różniczka zupełna

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
ekonomistapn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 31 sie 2011, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2 razy

Różniczka zupełna

Post autor: ekonomistapn » 7 wrz 2011, o 18:09

Do rozwiązania mam prostą różniczkę zupełną rzędu pierwszego, ale nie wiem dokładnie jak mam jej użyć.
Korzystając z różniczki zupełnej oblicz przybliżoną wartość wyrażenia:

\(\displaystyle{ 1,02^{3,01}}\)

Próbowałem zrobić to następująco:

\(\displaystyle{ x=1 \\ \delta x=0,02 \\ y=3 \\ \delta y=0,01}\)

W ten sposób zamieniłem podstawową funkcję na:

\(\displaystyle{ x^{y}}\) i policzyłem pochodną

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = y \cdot x^{y-1} \ \frac{ \partial f}{ \partial y} = x^{y} \cdot lny}\)

Problem powstał gdy chciałem wyliczyć ostatecznie różniczkę zupełną, przy podstawieniu wyszło mi:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} \cdot \delta x + \frac{ \partial f}{ \partial y} \cdot \delta y = 3 \cdot 1^{2} \cdot 0,02 + 1^{3} \cdot ln3 \cdot 0,01 = 0,06 + 1 \cdot 1,1 \cdot 0,01 = 0,07}\)

a nie jest to prawidłowy wynik. Mógłby ktoś wskazać mi błąd?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Różniczka zupełna

Post autor: aalmond » 7 wrz 2011, o 18:39

Obliczyłeś tylko przyrost wartości.

ekonomistapn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 31 sie 2011, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2 razy

Różniczka zupełna

Post autor: ekonomistapn » 7 wrz 2011, o 18:46

aalmond pisze:Obliczyłeś tylko przyrost wartości.
Mógłbyś mi w takim razie podpowiedzieć jak rozwiązać to zadanie?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Różniczka zupełna

Post autor: aalmond » 7 wrz 2011, o 18:55

Dodaj ten przyrost do wartości funkcji w punkcie \(\displaystyle{ (x, y)}\)

ekonomistapn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 31 sie 2011, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 2 razy

Różniczka zupełna

Post autor: ekonomistapn » 7 wrz 2011, o 19:10

Aby rozwiązać \(\displaystyle{ 1,02^{3,01}}\) muszę dodać ten przyrost konkretnie do \(\displaystyle{ x}\) i dlaczego akurat do niego, a nie do \(\displaystyle{ y}\) ? Poza tym zarówno w odpowiedzi, jak i kalkulator wskazują wynik 1,06 a tu wychodzi 1,07 z lekką górką nawet. Wiem, że się czepiam, ale bardziej mi zależy żeby to zrozumieć niż żeby tylko rozwiązać.

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

Różniczka zupełna

Post autor: tometomek91 » 7 wrz 2011, o 19:17

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = x^{y} \cdot \textcolor{red}{lnx}}\)

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Różniczka zupełna

Post autor: aalmond » 7 wrz 2011, o 19:38

Dodajesz przyrost do wartości funkcji.

\(\displaystyle{ f(x, y) = x ^{y} \\ f(1.02, 3.01) \approx f(1, 3) + \frac{ \partial f}{ \partial x} \cdot \delta x + \frac{ \partial f}{ \partial y} \cdot \delta y}\)

Uwzględnij jeszcze tę poprawkę, którą dał tometomek91

ODPOWIEDZ