przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Michail 88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: Michail 88 » 7 wrz 2011, o 17:29

wyznacz przedział monotoniczności i ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}}\)

z monotoniczności i ekstremami to dla mnie jest dosłownie ekstremalny temat, mógłby ktoś napisać rozwiązanie.
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2011, o 17:47 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.

AsiaS1986
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 24 sie 2011, o 08:52
Płeć: Kobieta
Pomógł: 9 razy

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: AsiaS1986 » 7 wrz 2011, o 17:44

Wyznacz najpierw pierwsza pochodną a następnie drugą.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9332
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2041 razy

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: Dasio11 » 7 wrz 2011, o 17:49

Hmm. Najpierw proponuję wyznaczyć dziedzinę... ;-)

Michail 88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: Michail 88 » 7 wrz 2011, o 17:55

hmmm, a moglbym liczyc na cale rozwiazanie ? bo nie jestem super dobry, ani nawet dobry, podejzewam, ze przecietny tez nie, a w zasadzie to dno ze mnie z matematyki

AsiaS1986
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 24 sie 2011, o 08:52
Płeć: Kobieta
Pomógł: 9 razy

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: AsiaS1986 » 7 wrz 2011, o 19:17

Dziedzinę chyba potrafisz wyznaczyć? Jak mamy do czynienia z ułamkiem to mianownik musi być różny od zera.

Michail 88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 23:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: Michail 88 » 8 wrz 2011, o 08:07

no z tym tez mam problemy

AsiaS1986
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 24 sie 2011, o 08:52
Płeć: Kobieta
Pomógł: 9 razy

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: AsiaS1986 » 8 wrz 2011, o 08:34

Wyznaczamy dziedzinę:
\(\displaystyle{ x^2-1 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x^2 \neq 1}\)
\(\displaystyle{ x \neq 1 \wedge x \neq -1}\)
\(\displaystyle{ D=R/\{-1,1\}}\)

Spróbuj wyznaczyć pierwsza pochodną i pokaż rozwiązanie. Jak będzie źle to poprawimy.

erko2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 21 paź 2010, o 12:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława
Podziękował: 12 razy

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: erko2 » 8 wrz 2011, o 11:44

\(\displaystyle{ f(x)=( \frac{x^2}{x ^{2}-1})}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(2x(x^2-1)-x^2(2x))}{x^{4}+2x^{2}+1}=\frac{-2x}{x^{4}+2x^{2}+1}}\)

Dobrze wyszla mi pochodna? Jezeli tak to:
dla \(\displaystyle{ x<0}\) przyjmuje ona wartosci dodatnie, dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ujemne. W przedziale

Funkcja rosnąca dla
\(\displaystyle{ -\infty<x<-1 \vee -1<x<0}\)
Funkcja malejaca dla
\(\displaystyle{ 0<x<1 \vee 1<x< \infty}\)


Napewno sie gdzies stuknalem. W koncu matematyk to ze mnie kiepski. Tez potrzebuje podobnego zadania, wiec prosze o pomoc w rozwiazaniu tego, to zdecydowanie ulatwi mi zycie ^3^..

AsiaS1986
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 24 sie 2011, o 08:52
Płeć: Kobieta
Pomógł: 9 razy

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: AsiaS1986 » 8 wrz 2011, o 13:25

erko2 pisze:\(\displaystyle{ f(x)=( \frac{x^2}{x ^{2}-1})}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(2x(x^2-1)-x^2(2x))}{x^{4}+2x^{2}+1}=\frac{-2x}{x^{4}+2x^{2}+1}}\)
W mianowniku masz błąd:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(2x(x^2-1)-x^2(2x))}{(x^{4}-2x^{2}+1)}=\frac{-2x}{x^{4}-2x^{2}+1}}\)
Ale zostaw mianownik pochodnej w takiej formie:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{-2x}{(x^2-1)^2}}\)
\(\displaystyle{ D_{f^'}=D_{f}=R/\{-1,1\}}\)
erko2 pisze:\(\displaystyle{ f(x)=( \frac{x^2}{x ^{2}-1})}\)

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(2x(x^2-1)-x^2(2x))}{x^{4}+2x^{2}+1}=\frac{-2x}{x^{4}+2x^{2}+1}}\)

Dobrze wyszla mi pochodna? Jezeli tak to:
dla \(\displaystyle{ x<0}\) przyjmuje ona wartosci dodatnie, dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ujemne.
Powinno być:
dla \(\displaystyle{ x<0}\) przyjmuje ona wartosci dodatnie, dla \(\displaystyle{ x > 0}\) ujemne.
I pytanie: tóry punkt to ekstremum i jakie?

erko2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 21 paź 2010, o 12:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Iława
Podziękował: 12 razy

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: erko2 » 8 wrz 2011, o 13:33

Ekstremum:
\(\displaystyle{ f'(x)=0}\)
\(\displaystyle{ 0= \frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}}\)

Czyli dla x=0 to maksimum lokalne, bo pochodna przyjmuje znak dodatki dla x<0 i ujemny dla x>0..?

@down
Dzieki wielkie, nie bede juz pisal nowego posta. Mam nadzieje, ze autor tematu wlepi ci plusika, ja neistety nie moge : )
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2011, o 13:58 przez erko2, łącznie zmieniany 2 razy.

AsiaS1986
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 24 sie 2011, o 08:52
Płeć: Kobieta
Pomógł: 9 razy

przedzial monotonicznosci i ekstrema funkcji

Post autor: AsiaS1986 » 8 wrz 2011, o 13:56

\(\displaystyle{ x=0}\) to punkt podejrzany o ekstremum.

Sprawdzamy dwa przedziały:
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ (- \infty ,-1) \cup (-1,0)}\) np.x=-2
\(\displaystyle{ f^{'}(-2)>0}\)

\(\displaystyle{ \bullet (0, 1 ) \cup (1, \infty )}\) np.x=2
\(\displaystyle{ f^{'}(2)<0}\)

Widzimy zmianę znaku pochodnej z dodatniej na ujemną, więc punkt \(\displaystyle{ x=0 \Rightarrow maximum}\)

ODPOWIEDZ