rozszerzenie rozdzielcze

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Pestka_2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 sie 2011, o 18:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

rozszerzenie rozdzielcze

Post autor: Pestka_2 » 7 wrz 2011, o 17:20

Poszukuję przykładu i uzasadnienia na to, że w dodatniej charakterystyce rozszerzenia algebraiczne nie muszą być rozdzielcze.

xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

rozszerzenie rozdzielcze

Post autor: xiikzodz » 7 wrz 2011, o 17:54

Np. ciało \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p(x)}\) i wielomian \(\displaystyle{ f(t)=t^p-x}\), jeśli bowiem \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, to \(\displaystyle{ a^p=x}\) i wobec tego \(\displaystyle{ t^p-x=t^p-a^p=(t-a)^p}\), czyli a jest \(\displaystyle{ p}\)-krotnym pierwiastkiem tego wielomianu.

Kłopoty ze znalezieniem przykładu polegają na tym, że ciała skończone i charakterystyki zero, czyli te najczęściej rozważane, mają jedynie rozdzielcze rozszerzenia.

Pestka_2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 sie 2011, o 18:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

rozszerzenie rozdzielcze

Post autor: Pestka_2 » 7 wrz 2011, o 20:45

Czyli tutaj nasze ciało Fp(x) jest rozszerzeniem ciała Fp o element x?? A f(t) jest wielomianem minimalnym dla x?

xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

rozszerzenie rozdzielcze

Post autor: xiikzodz » 7 wrz 2011, o 22:52

Ciało \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p(x)}\) to ciało ułamków pierścienia wielomianów zmiennej \(\displaystyle{ x}\) o współczynnikach w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p}\), natomiast \(\displaystyle{ f(t)}\) jest wielomianem minimalnym pierwiastka \(\displaystyle{ p}\)-tego stopnia z elementu \(\displaystyle{ x}\), który to pierwiastek został w rozwiązaniu oznaczony \(\displaystyle{ a}\).

ODPOWIEDZ