funkcja harmoniczna na okręgu

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
adrian1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 6 sty 2007, o 15:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rawa Mazowiecka
Podziękował: 1 raz

funkcja harmoniczna na okręgu

Post autor: adrian1 » 7 wrz 2011, o 12:34

Witam proszę o jakieś pomysły na rozwiązanie poniższego zadania
\(\displaystyle{ \varphi (x,y)}\) to funkcja harmoniczna w \(\displaystyle{ x^2+y^2 <2}\)
taka, że \(\displaystyle{ \varphi (1/2,1/2)=0.}\) Udowodnij, że istnieją co najmniej dwie różne wartości \(\displaystyle{ t in [0,2 pi)}\) takie, że \(\displaystyle{ \varphi (cos t,sin t)=0.}\)

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

funkcja harmoniczna na okręgu

Post autor: Piotr Pstragowski » 7 wrz 2011, o 13:32

Są dwa przypadki.

1) Twoja funkcja jest stała, wtedy teza zachodzi w sposób oczywisty.

2) Twoja funkcja nie jest stała. Rozpatrzmy okrąg jednostkowy. Zasada maksimum/minimum dla funkcji harmonicznych mówi, że f osiąga maksimum/minimum na brzegu dysku, czyli na okręgu jednostkowym. W szczególności, w pewnym punkcie okręgu jednostkowego jest dodatnia, a w pewnym ujemna. Zostawiam Tobie do pokazania, że funkcja na okręgu o tej własności ma najmniej dwa zera.

adrian1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 6 sty 2007, o 15:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rawa Mazowiecka
Podziękował: 1 raz

funkcja harmoniczna na okręgu

Post autor: adrian1 » 7 wrz 2011, o 13:57

Dziękuję, zadanie okazało się dosyć proste. Pozdrawiam Kolegę z MIM-u

ODPOWIEDZ