Wrzącą wodę wlano do szklanki w sali o stałej temperaturze 40 stopni C, po 15 minutach temperatura wynosiła 70 stopni C, pytanie : Kiedy temperatura spadnie do 55 stopni C?
Pomoże ktoś?
Równanie różniczkowe, temperatura
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Równanie różniczkowe, temperatura
Wypiszę szczegółowo, żeby zminimalizować ryzyko pomyłek, ale nie gwarantuję, że ich nie będzie:
Jeśli \(\displaystyle{ T}\) to temperatura otoczenia, zaś \(\displaystyle{ T_0, T_1}\) to temperatura początkowa i końcowa odpowiednio, to stygnięcie w przedziale czasowym \(\displaystyle{ (t_0, t_1)}\) opisuje funkcja będąca rozwiązaniem zagadnienia początkowego:
\(\displaystyle{ \begin{cases}y'(t)=-k(y(t)-T)\\y(t_0)=T_0\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest stałą, którą należy tak dobrać, żeby \(\displaystyle{ y(t_1)=T_1}\). Najpierw rozwiązujemy więc powyższe zagadnienie początkowe w zależności od \(\displaystyle{ k}\):
Przypadek jednorodny, \(\displaystyle{ y'=-ky}\) ma rozwiązanie postaci: \(\displaystyle{ y(t)=ce^{-kt}}\), które poprawiamy do rozwiązania przypadku ogólnego np. uzmienniając stałą:
\(\displaystyle{ kT=c'(t)e^{-kt}}\)
skąd
\(\displaystyle{ c(t)=\int kT\cdot e^{kt} \mbox{d}t+c_1=Te^{kt}+c_1}\)
konsekwentnie:
\(\displaystyle{ y(t)=T+c_1e^{-kt}}\)
Po wstawieniu warunku \(\displaystyle{ y(t_0)=T_0}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ c_1=(T_0-T)e^{kt_0}}\)
i w końcu rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y(t)=T+(T_0-T)e^{k(t_0-t)}}\).
Wstawiamy teraz do tego rozwiązania warunek \(\displaystyle{ y(t_1)=T_1}\):
\(\displaystyle{ T_1=T+(T_0-T)e^{k(t_0-t_1)}}\)
skąd:
\(\displaystyle{ k=\frac{1}{t_0-t_1}\ln\frac{T_1-T}{T_0-T}}\).
Wstawiamy dane kładąc \(\displaystyle{ t_0=0, t_1=15}\):
\(\displaystyle{ k=-\frac{1}{15}\ln\frac{70-40}{100-40}=\frac{\ln 2}{15}}\)
\(\displaystyle{ y(t)=40+60\cdot \exp\left(-\frac{t\ln 2}{15}\right)}\).
Pozostaje wyznaczyć takie \(\displaystyle{ t}\), że \(\displaystyle{ y(t)=55}\):
\(\displaystyle{ 55=40+60\cdot \exp\left(-\frac{t\ln 2}{15}\right)}\)
skąd po prostych rachunkach:
\(\displaystyle{ t=30}\).
Jeśli \(\displaystyle{ T}\) to temperatura otoczenia, zaś \(\displaystyle{ T_0, T_1}\) to temperatura początkowa i końcowa odpowiednio, to stygnięcie w przedziale czasowym \(\displaystyle{ (t_0, t_1)}\) opisuje funkcja będąca rozwiązaniem zagadnienia początkowego:
\(\displaystyle{ \begin{cases}y'(t)=-k(y(t)-T)\\y(t_0)=T_0\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest stałą, którą należy tak dobrać, żeby \(\displaystyle{ y(t_1)=T_1}\). Najpierw rozwiązujemy więc powyższe zagadnienie początkowe w zależności od \(\displaystyle{ k}\):
Przypadek jednorodny, \(\displaystyle{ y'=-ky}\) ma rozwiązanie postaci: \(\displaystyle{ y(t)=ce^{-kt}}\), które poprawiamy do rozwiązania przypadku ogólnego np. uzmienniając stałą:
\(\displaystyle{ kT=c'(t)e^{-kt}}\)
skąd
\(\displaystyle{ c(t)=\int kT\cdot e^{kt} \mbox{d}t+c_1=Te^{kt}+c_1}\)
konsekwentnie:
\(\displaystyle{ y(t)=T+c_1e^{-kt}}\)
Po wstawieniu warunku \(\displaystyle{ y(t_0)=T_0}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ c_1=(T_0-T)e^{kt_0}}\)
i w końcu rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y(t)=T+(T_0-T)e^{k(t_0-t)}}\).
Wstawiamy teraz do tego rozwiązania warunek \(\displaystyle{ y(t_1)=T_1}\):
\(\displaystyle{ T_1=T+(T_0-T)e^{k(t_0-t_1)}}\)
skąd:
\(\displaystyle{ k=\frac{1}{t_0-t_1}\ln\frac{T_1-T}{T_0-T}}\).
Wstawiamy dane kładąc \(\displaystyle{ t_0=0, t_1=15}\):
\(\displaystyle{ k=-\frac{1}{15}\ln\frac{70-40}{100-40}=\frac{\ln 2}{15}}\)
\(\displaystyle{ y(t)=40+60\cdot \exp\left(-\frac{t\ln 2}{15}\right)}\).
Pozostaje wyznaczyć takie \(\displaystyle{ t}\), że \(\displaystyle{ y(t)=55}\):
\(\displaystyle{ 55=40+60\cdot \exp\left(-\frac{t\ln 2}{15}\right)}\)
skąd po prostych rachunkach:
\(\displaystyle{ t=30}\).