Równania różniczkowe II rzędu.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Syn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piekło
Podziękował: 1 raz

Równania różniczkowe II rzędu.

Post autor: Syn » 6 wrz 2011, o 16:03

Proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania poniższych przykładów:

a)

\(\displaystyle{ y''-6y'+8y=e ^{3x}}\)

\(\displaystyle{ y''-6y'+8y=0}\)

\(\displaystyle{ r ^{2} -6r+8=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=2}\)

\(\displaystyle{ r _{1}=2}\)
\(\displaystyle{ r _{2}=4}\)

\(\displaystyle{ y_{1}=C _{1} \cdot e ^{2x} +C_{2}\cdot e^{4x}}\)

\(\displaystyle{ y=A \cdot e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ y'=3A \cdot e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ y''=9A \cdot e^{3x}}\)

\(\displaystyle{ 9A \cdot e^{3x} - 18A \cdot e^{3x} + 8A \cdot e^{3x} = e^{3x}}\)

\(\displaystyle{ A=-1}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y=(C _{1} \cdot e ^{2x} +C_{2}\cdot e^{4x})-e^{3x}}\)



b)

\(\displaystyle{ y''+2y'+5y=x}\)

\(\displaystyle{ y''+2y'+5y=0}\)

\(\displaystyle{ r ^{2} +2r+5=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=16i ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4i}\)

\(\displaystyle{ r _{1}=-1-2i}\)
\(\displaystyle{ r_{2}=-1+2i}\)

\(\displaystyle{ y_{1}=e^{x}\cdot (C_{1}\sin 2x+C_{2}\cos 2x)}\)

\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ y'=a}\)
\(\displaystyle{ y''=0}\)

\(\displaystyle{ 2a+5ax+5b=x}\)
\(\displaystyle{ a=- \frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ b=- \frac{2}{25}}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y=e^{x}\cdot (C_{1}\sin 2x+C_{2}\cos 2x)+(- \frac{1}{5}x+- \frac{2}{25})}\)



c)

\(\displaystyle{ y''+4y=4x+8}\)

\(\displaystyle{ r^{2}+4=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=-16}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4i}\)

\(\displaystyle{ r_{1}=-2i}\)
\(\displaystyle{ r_{2}=2i}\)

\(\displaystyle{ y_{1}=e^{0}\cdot (C_{1}\sin 2x+C_{2}\cos 2x)}\)

\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ y'=a}\)
\(\displaystyle{ y''=0}\)

\(\displaystyle{ 4ax+4b=4x+8}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{1}{2}}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y=(C_{1}\sin 2x+C_{2}\cos 2x)+(x+\frac{1}{2}b)}\)



d)

\(\displaystyle{ y''+6y'+9y=e^{5x}}\)

\(\displaystyle{ r^{2}+6r+9=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0}\)

\(\displaystyle{ r=-3}\)

\(\displaystyle{ y_{1}=C_{1}\cdot e^{-3x}+C_{2}\cdot xe^{-3x}}\)

\(\displaystyle{ y=A\cdot e^{5x}}\)
\(\displaystyle{ y'=5A\cdot e^{5x}}\)
\(\displaystyle{ y''=25A\cdot e^{5x}}\)

\(\displaystyle{ 25A\cdot e^{5x}+30A\cdot e^{5x}+9A\cdot e^{5x}=e^{5x}}\)

\(\displaystyle{ A= \frac{1}{64}}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y=(C_{1}\cdot e^{-3x}+C_{2}\cdot xe^{-3x})+ \frac{e^{5x}}{64}}\)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

Równania różniczkowe II rzędu.

Post autor: szw1710 » 6 wrz 2011, o 22:01

a) OK

b) w CORJ ma być \(\displaystyle{ e^{-x}}\)

c) Na końcu masz błąd typograficzny - ma być bez \(\displaystyle{ b}\)

d) OK

Szczegółowych rachunków (ostateczne wartości stałych) nie sprawdzałem.

ODPOWIEDZ