Ile rozwiazan ma nastepujace rownanie diofantyczne?

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
celebes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 24 paź 2010, o 14:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WAWA
Podziękował: 2 razy

Ile rozwiazan ma nastepujace rownanie diofantyczne?

Post autor: celebes » 6 wrz 2011, o 15:32

Ile rozwiazan ma nastepujace rownanie a+b+c+d+e+f=11 jesli wiadomo, ze:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \le b \le c \le d \le e \le f \\ a,b,c,d,e,f \in N+ \end{cases}}\)

Wiem jak rozwiazac zadanie podobne, w tym jednak nie wiem jak dostosowac sie do tego warunku z nierownosciami.. tutaj wklejam rozwiazane zadanie podobne, jednak bez warunkow, powiedzcie mi, czy jest zrobione dobrze:

[quote]a+b+c+d+e = 13
a,b,c,d,e naleza do N

Najpierw zamieniamy N na N+, czyli dodajemy do wszystkiego 1

a' = a + 1
b' = b + 1
c' = c + 1
d' = d + 1
e' = e + 1

teraz podstawiamy pod tamten wzor dany w zadaniu, jesli a' = a + 1, to a =a' - 1, wiec:
(a'-1) + (b' -1) + (c' -1) + (d' -1) + (e' -1) = 13
a' + b' + c' + d' + e' = 18
wynik to \(\displaystyle{ {18 \choose 5}}\)[/quote]

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Ile rozwiazan ma nastepujace rownanie diofantyczne?

Post autor: bartek118 » 6 wrz 2011, o 17:58

Zadanie podobne jest zrobione źle - wynik to \(\displaystyle{ {17 \choose 4}}\)

abc666

Ile rozwiazan ma nastepujace rownanie diofantyczne?

Post autor: abc666 » 6 wrz 2011, o 19:51

celebes, to zadanie nie jest takie trudne. Liczymy je na piechotę. Po pierwsze \(\displaystyle{ a=1}\) bo inaczej minimalna suma to \(\displaystyle{ 12}\). Dostajemy więc

\(\displaystyle{ b+c+d+e+f=10}\)

Teraz mamy tylko dwie możliwości. Pierwsza to \(\displaystyle{ b=2}\), wtedy wszystkie zmienne są równe \(\displaystyle{ 2}\). Druga możliwość to \(\displaystyle{ b=1}\). Dostajemy

\(\displaystyle{ c+d+e+f=9}\)

No i teraz już można się zastanowić nad przedstawieniami 9 w postaci sumy 4 dodatnich składników. Mamy
\(\displaystyle{ 1+1+1+6\\ 1+1+2+5\\ 1+1+3+4\\ 1+2+2+4\\ 1+2+3+3\\ 2+2+2+3}\)
W sumie 7 rozwiązań.

ODPOWIEDZ