Problem z granicą funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: godofmayhem » 6 wrz 2011, o 12:49

Mam do zrobienia taki przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} }}\)

Jak powinienem zacząć?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: Lorek » 6 wrz 2011, o 13:23

Od rozszerzenia ułamka przez sprzężenie mianownika i licznika.

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: godofmayhem » 6 wrz 2011, o 13:41

A możesz to rozpisać? Jakoś nie bardzo to widzę.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: Lorek » 6 wrz 2011, o 13:47

A jak wygląda sprzężenie licznika?

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: godofmayhem » 6 wrz 2011, o 14:08

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} } \cdot \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1}}{ \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1}}}\), tylko że mianownik przyjmuje dziwną postać.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23175
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: piasek101 » 6 wrz 2011, o 14:50

Wrzuć w wyszukiwarkę (naszą) sprzężenie i obadaj - bo masz nie tak.

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: godofmayhem » 6 wrz 2011, o 15:33

Pomyliłem znaki, chodziło mi o taką postać:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} } \cdot \frac{ \sqrt{ x^{2}+1 } + \sqrt{x+1}}{ \sqrt{ x^{2}+1 } + \sqrt{x+1}}}\), zgadza się?

Ale i tak mnie to nie urządza.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: Lorek » 6 wrz 2011, o 15:39

To teraz to samo zrób dla mianownika.

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: godofmayhem » 6 wrz 2011, o 16:21

Wychodzi mi coś takiego :
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ x^{2}+ x^{2} \cdot \sqrt{x+1} -x -x \cdot \sqrt{x+1} }{-x \cdot \sqrt{ x^{2}+1 } - x \cdot \sqrt{x+1} }}\)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: Lorek » 6 wrz 2011, o 16:26

Niepotrzebnie to rozpisywałeś, ale niech zostanie. Teraz każdy składnik zawiera \(\displaystyle{ x}\), więc można go skrócić.

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: godofmayhem » 6 wrz 2011, o 23:02

Dobra, skracam przez x i mam taką postać
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ x+ x \cdot \sqrt{x+1} -1 - \sqrt{x+1} }{- \sqrt{ x^{2}+1 } - \sqrt{x+1} }}\)
lub taką
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{\left( x-1\right) \left( 1+ \sqrt{x+1} \right) }{ - \sqrt{x^{2}+1} - \sqrt{x+1} }}\)

Przepraszam za upierdliwość, ale nadal nie widzę co z tym zrobić.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: Lorek » 6 wrz 2011, o 23:05

A teraz jak wstawisz \(\displaystyle{ 0}\) to wychodzi coś dziwnego?

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16292
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: anna_ » 6 wrz 2011, o 23:15

Przecież sprzężenie mianownika to \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{x+1} }}\)

godofmayhem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: godofmayhem » 6 wrz 2011, o 23:41

Byłem przekonany, że będzie trzeba w pewnym miejscu skorzystać de L'Hospitala.
Dzięki!

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Problem z granicą funkcji

Post autor: Lorek » 6 wrz 2011, o 23:56

Hospitala to mogłeś i od razu zastosować, tylko po co?

ODPOWIEDZ