Wyznacz warstwicę funkcji oraz kierunek największego wzrostu

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
andre_wj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 26 mar 2011, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Wyznacz warstwicę funkcji oraz kierunek największego wzrostu

Post autor: andre_wj » 6 wrz 2011, o 11:12

Mam takie zadanie:

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{4x}{x+y}}\).
a) Wyznacz i narysuj warstwicę dla wartości 2. Sprawdź czy punkt P(2,2) należy do warstwicy.
b) wyznacz kierunek największego wzrostu funkcji f w punkcje P(2,2).

I tak:
- wyznaczyłem warstwicę i dla \(\displaystyle{ \frac{4x}{x+y}=2}\)wyszło mi, że \(\displaystyle{ y=x}\). Nie jestem pewien czy dobrze. I jak sprawdzić czy ten punkt P(2,2) należy do tej warstwicy? Podstawić do wzoru funkcji?

- Wyliczyłem gradient (z przykładu b -wydaje mi się, że to chodzi o gradient) i tak:
wyliczyłem pochodne 1 rzedu po X i po Y:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{4x}{x+y}}\)
\(\displaystyle{ f'x= \frac{y}{(x+y) ^{2} }}\) i \(\displaystyle{ f'y= \frac{-4x}{(x+y) ^{2} }}\)
podstawiłem pod każdy z tych wzorów punkty x i y i wyszło mi, że gradient \(\displaystyle{ f(2,2)= \frac{1}{8}i+5j}\).

Czy dobrze zrobiłem? Z góry dziękuję za wszelką pomoc

xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

Wyznacz warstwicę funkcji oraz kierunek największego wzrostu

Post autor: xiikzodz » 7 wrz 2011, o 10:12

Prawie dobrze.

Warstwica, o którą tu chodzi, to zbiór punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełniających równanie:

\(\displaystyle{ \frac{4x}{x+y}=2}\).

Są to wszystkie punkty spełniające równanie

\(\displaystyle{ 4x=2x+2y}\)

takie, że \(\displaystyle{ x+y\neq 0}\), czyli prosta \(\displaystyle{ y=x}\) bez punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) w którym dana funkcja nie jest określona.

Punkt \(\displaystyle{ (2,2)}\) spełnia to równanie, wystarczy podstawić, więc należy do warstwicy.

Kierunek najszybszego wzrostu to gradient w punkcie \(\displaystyle{ (2,2)}\).

Mamy:

\(\displaystyle{ \nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{4y}{(x+y)^2}\\\\\frac{-4x}{(x+y)^2}\end{pmatrix}}\)

skąd

\(\displaystyle{ \nabla f(2,2)=\begin{pmatrix}\frac{8}{4^2}\\\\\frac{-8}{4^2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac 12\\\\-\frac 12\end{pmatrix}=\frac 12 i-\frac 12 j}\)

andre_wj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 26 mar 2011, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Wyznacz warstwicę funkcji oraz kierunek największego wzrostu

Post autor: andre_wj » 7 wrz 2011, o 23:53

Dzięki wielkie za pomoc

ODPOWIEDZ