Równanie różniczkowe I rzędu.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Syn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piekło
Podziękował: 1 raz

Równanie różniczkowe I rzędu.

Post autor: Syn » 5 wrz 2011, o 20:59

Proszę o rozwiązanie następujących różniczek:

a)

\(\displaystyle{ y'-\frac{1}{1+x^2} \cdot y= \frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e^{ \arc\tg x }}\)

b)

\(\displaystyle{ y'+ \frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot y=e^{ \ctg x }}\)

c)

\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{2 \sqrt{x} }= \tg x \cdot e ^{ \sqrt{x} }}\)

d)

\(\displaystyle{ y'- \frac{y}{2 \sqrt{x} }=\sqrt{x} \cdot e ^{ \sqrt{x} }}\)
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2011, o 23:21 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Znak mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18759
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

Równanie różniczkowe I rzędu.

Post autor: szw1710 » 5 wrz 2011, o 21:02

Wszystkie równania są liniowe I rzędu. W wyznaczaniu CORJ mamy prościutkie całki, w CSRN (na oko, bo nie liczyłem), całkowanie przez podstawienie.

Syn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piekło
Podziękował: 1 raz

Równanie różniczkowe I rzędu.

Post autor: Syn » 5 wrz 2011, o 21:55

Do kasacji, błąd.
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2011, o 16:23 przez szw1710, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Powinieneś ten błąd poprawić i już. Po kasacji tok dyskusji będzie zaburzony.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18759
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

Równanie różniczkowe I rzędu.

Post autor: szw1710 » 5 wrz 2011, o 22:26

Metodą uzmienniania stałej, jak wszędzie.

Syn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piekło
Podziękował: 1 raz

Równanie różniczkowe I rzędu.

Post autor: Syn » 5 wrz 2011, o 23:23

\(\displaystyle{ y=e ^{ \ctg x } \cdot C\\ y'=(e ^{ \ctg x })' \cdot C+e ^{ \ctg x } \cdot C'\\ (e ^{ \ctg x })' \cdot C+e ^{ \ctg x } \cdot C' + \frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e ^{ \ctg x } \cdot C=e ^{ \ctg x }}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e ^{ \ctg x } \cdot C+e ^{ \ctg x } \cdot C' + \frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e ^{ \ctg x } \cdot C=e ^{ \ctg x }}\)

\(\displaystyle{ e ^{ \ctg x } \cdot C'=e ^{ \ctg x }}\)

\(\displaystyle{ C=\int 1dx}\)

\(\displaystyle{ C=x}\)

Dobrze?
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2011, o 08:36 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Stosuj \ctg itp.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18759
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

Równanie różniczkowe I rzędu.

Post autor: szw1710 » 6 wrz 2011, o 08:34

Tak, zapisz więc CORN.

Syn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piekło
Podziękował: 1 raz

Równanie różniczkowe I rzędu.

Post autor: Syn » 6 wrz 2011, o 13:39

b)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y=e ^{ \ctg x } \cdot x}\)



Proszę o sprawdzenie pozostałych przykładów:


a)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} -\frac{1}{1+x^2} \cdot y= 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2} \cdot y}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y}=\int\frac{1}{1+x^2}dx}\)

\(\displaystyle{ y=e ^{\arc\tg x} \cdot C}\)

\(\displaystyle{ y'=e ^{\arc\tg x} \cdot C'+\frac{1}{1+x^2} \cdot e ^{\arc\tg x} \cdot C}\)

\(\displaystyle{ e ^{\arc\tg x} \cdot C'+\frac{1}{1+x^2} \cdot e ^{\arc\tg x} \cdot C-\frac{1}{1+x^2} \cdot e^{\arc\tg x} \cdot C=\frac{1}{ \sin ^ 2x} \cdot e^{ \arc\tg x }}\)

\(\displaystyle{ C= \int\frac{1}{ \sin ^ 2x}dx}\)

\(\displaystyle{ C=-\ctg x}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y=e ^{\arc\tg x} \cdot (-\ctg x)}\)



c)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} - \frac{y}{2 \sqrt{x} }=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=\frac{1}{2 \sqrt{x} }dx}\)

\(\displaystyle{ \int\frac{dy}{y}=\int\frac{1}{2 \sqrt{x}}dx}\)

\(\displaystyle{ ln(y)= \frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{x}}}\)

\(\displaystyle{ ln(y)= \sqrt{x}+C}\)

\(\displaystyle{ y=e ^{\sqrt{x}} \cdot C}\)

\(\displaystyle{ y'=\frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot e ^{\sqrt{x}} \cdot C+e ^{\sqrt{x}} \cdot C'}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot e ^{\sqrt{x}} \cdot C+e ^{\sqrt{x}} \cdot C'-\frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot e ^{\sqrt{x}} \cdot C=\tg x \cdot e ^{ \sqrt{x} }}\)

\(\displaystyle{ C= \int\tg x dx}\)

\(\displaystyle{ C= \int \frac{\sin x}{cos x} dx}\)

\(\displaystyle{ \cos x=t}\)
\(\displaystyle{ -\sin x dx=dt}\)

\(\displaystyle{ C= -\int \frac{1}{t} dt}\)

\(\displaystyle{ C=-ln(t)=-ln(\cos x)}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y=e ^{\sqrt{x}} \cdot (-ln(\cos x))}\)



d) Analogicznie do c), różnica tylko w C:

\(\displaystyle{ C= \int \sqrt{x}}\)

\(\displaystyle{ C= \frac{2x ^{ \frac{3}{2} } }{3}}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y=e ^{\sqrt{x}} \cdot \frac{2x ^{ \frac{3}{2} } }{3}}\)

ODPOWIEDZ