Wariancja estymatora

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
capricorn

Wariancja estymatora

Post autor: capricorn » 5 wrz 2011, o 20:35

Dla wariancji \(\displaystyle{ \sigma ^2}\) cechy \(\displaystyle{ X}\) mającej rozkład \(\displaystyle{ N(\mu ,\sigma )}\) przy wykorzystaniu próby prostej \(\displaystyle{ X_{1,} X_2,\text{...} X_n}\) utworzono estymator \(\displaystyle{ T=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n \left(X_i-S\right){}^2}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) to średnia arytmetyczna próby. Znaleźć wariancję tego estymatora.

Robię pół dnia zadanie, ale cały czas wychodzi mi inaczej niż w odpowiedziach.
Odpowiedź: \(\displaystyle{ D^2(T)=\frac{2 \sigma ^2}{n-1}}\)
Moje rozumowanie:
Zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) mają rozkład taki jak badana cecha czyli \(\displaystyle{ N(\mu ,\sigma )}\). \(\displaystyle{ S}\), z twierdzenia o rozkładzie sumy i transformacji liniowej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, ma rozkład \(\displaystyle{ N\left(\mu ,\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)}\). Następnie \(\displaystyle{ X_i-S}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N\left(0,\sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)}\). Zatem zmienna \(\displaystyle{ \frac{X_i-S}{\sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Czyli:
\(\displaystyle{ D^2(T)=D^2\left(\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n \left(X_i-S\right){}^2 \right)=\frac{1}{(n-1)^2}D^2\left(\sum _{i=1}^n \left(X_i-S\right){}^2\right)=\frac{1}{(n-1)^2}D^2\left( \sigma ^{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)}\)\(\displaystyle{ \sum _{i=1}^n \left(\frac{X_i-S}{\sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}\right){}^2)=...}\)
(Gdzie \(\displaystyle{ \sum _{i=1}^n \left(\frac{X_i-S}{\sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}\right){}^2}\) ma rozkład chi-kwadrat z \(\displaystyle{ n}\) stopniami swobody, czyli wariancja tego wyrażania to \(\displaystyle{ 2n}\))


...=\(\displaystyle{ \frac{1}{(n-1)^2}\sigma ^4\left(1+\frac{1}{n}\right)^2D^2\left(\sum _{i=1}^n \left(\frac{X_i-S}{\sigma \sqrt{1+\frac{1}{n}}}\right){}^2\right)=\frac{2n}{(n-1)^2}\sigma ^4\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}\)
Gdzie jest błąd?

ODPOWIEDZ