Funkcję rozwinąć w szereg Taylora.

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Funkcję rozwinąć w szereg Taylora.

Post autor: gobi12 » 5 wrz 2011, o 19:51

Funkcję \(\displaystyle{ \frac{1}{x-2}}\) rozwinąć w szereg Taylora w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = 3}\) Określić obszar zbieżności, obliczyć \(\displaystyle{ f^{(8)}(3)}\)
Czy mógłby mi ktoś pokazać jak to się robi? To moje pierwsze zetknięcie z zadaniem tego typu.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9338
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2046 razy

Funkcję rozwinąć w szereg Taylora.

Post autor: Dasio11 » 5 wrz 2011, o 20:11

W tym przypadku możesz skorzystać ze zwyczajnego wzoru na sumę ciągu geometrycznego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-(-(x-3))} = \sum_{n=0}^{\infty} (-(x-3))^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-3)^n = \\ \\ = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-3)^n}\)

Otrzymany szereg jest zbieżny na przedziale \(\displaystyle{ |x-3|<1.}\)

Ponadto,

\(\displaystyle{ a_8=\frac{f^{(8)}(3)}{8!},}\)

skąd łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ f^{(8)}(3).}\)

gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Funkcję rozwinąć w szereg Taylora.

Post autor: gobi12 » 6 wrz 2011, o 00:52

A czy gdybym to robił krok po kroku, czyli tak(tutaj na przykładzie innej funkcji, która mam rozwinąć, tym razem w szereg Maclurina):
\(\displaystyle{ f(x)=sinh(x) \\ f^{(0)}=sinh \ \ \ \ \ \ f^{(0)}(0)=0 \\ f^{(I)}=cosh \ \ \ \ \ \ f^{(I)}(0)=1 \\ f^{(II)}=sinh \ \ \ \ \ \ f^{(II)}(0)=0 \\ f^{(III)}=cosh \ \ \ \ \ \ f^{(III)}(0)=1 \\ f^{(IV)}=sinh \ \ \ \ \ \ f^{(IV)}(0)=0 \\}\)

\(\displaystyle{ f(x)=0+ \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^{2}+ \frac{1}{3!}x^{3}+...= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\}\)

Teraz sprawdzam sobie promień i obszar zbieżności:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{1}{(2n+3)!} \frac{(2n+1)!}{1}) = \frac{1}{4} \\ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(2n+1)!} (-4)^{2n+1} \\ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(2n+1)!} (4)^{2n+1} \\}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{4^{2n+3}}{(2n+3)!} \frac{(2n+1)!}{4^{2n+1}} ) = 4 \\}\)


\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ( \frac{(-4)^{2n+3}}{(2n+3)!} \frac{(2n+1)!}{(-4)^{2n+1}} ) = 4 \\ r \in (-4,4)}\)


Czy to jest dobrze?


Jeszcze co do tego pierwszego zadanka dokładniej co do obliczenia: \(\displaystyle{ f^{(8)}(3)}\)
to robimy to tak, że skoro wiemy, że:
\(\displaystyle{ a_{n}=(-1)^{n} \\ a_{8}=(-1)^{8}=1 \\ a_8=\frac{f^{(8)}(3)}{8!} \\ f^{(8)}(3)= \frac {1}{8!} \\}\)

Czy to tak robimy?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9338
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2046 razy

Funkcję rozwinąć w szereg Taylora.

Post autor: Dasio11 » 6 wrz 2011, o 06:40

Rozwinięcie OK, ale z d'Alemberta źle:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{(2n+3)!}}{\frac{1}{(2n+1)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+3)(2n+2)} = 0}\)

więc szereg jest zbieżny na całej prostej (symbolicznie: \(\displaystyle{ r=\infty}\)).

Pochodna: źle ostatnie przekształcenie. :-)
Przecież z

\(\displaystyle{ a_8=\frac{f^{(8)}(3)}{8!}}\)

wynika

\(\displaystyle{ f^{(8)}(3)}=8!}\)

ODPOWIEDZ