Obliczyć objętość bryły

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Obliczyć objętość bryły

Post autor: gobi12 » 5 wrz 2011, o 19:44

Mam takie zadanie i wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedzi.
Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: \(\displaystyle{ z=6-x^{2}-y^{2} \\ z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

Przeszedłem na współrzędne walcowe:
\(\displaystyle{ z = 6- r^{2} \\ z = \sqrt{r^{2}} = |r|}\)

Policzyłem dla jakiego r się te dwie funkcje przecinają:

\(\displaystyle{ 6-r^{2}= r \\ r= \frac{1+ \sqrt{5} }{-2} \ \ \ \ i \ \ \ \ r= \frac{1- \sqrt{5} }{-2}}\)

Z tego ustalam granice całkowania:
\(\displaystyle{ r \le z \le 6-r^{2} \\ 0 \le r \le \frac{1- \sqrt{5} }{-2} \\ 0 \le \phi \le 2 \pi}\)


Z tego liczę całkę:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{\frac{1- \sqrt{5} }{-2}} \left( \int_{r}^{6-r^{2}} r\,\text dz \right) \,\text dr \right) \,\text d\phi}\)


Niestety po obliczeniu tego wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac {103 - 37\sqrt{5}}{12} \pi}\) zaś w odpowiedzi jest: \(\displaystyle{ \frac{44}{3}\pi}\)
Co robię źle?
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2011, o 19:49 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Obliczyć objętość bryły

Post autor: aalmond » 5 wrz 2011, o 20:34

Policz jeszcze raz górną granicę dla \(\displaystyle{ r}\)

gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Obliczyć objętość bryły

Post autor: gobi12 » 5 wrz 2011, o 20:40

Ale byk! Oczywiście 5 zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)

ODPOWIEDZ