Objętość bryły | cała potrójna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
timonfreak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 15:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Objętość bryły | cała potrójna

Post autor: timonfreak » 5 wrz 2011, o 17:34

Witam.

Gdzieś w mojej metodzie wyznaczania granic dla objętości jest błąd, którego nie mogę zlokalizować. Wszystkie moje wyniki wychodzą podobne do prawidłowych, ale jednak błędne. Zamieszczę moje rozwiązanie jednego z zadań. Proszę o analizę i wskazówki.

Oblicz objętość obszaru ograniczonego krzywymi:
\(\displaystyle{ V:}\)
\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 9}\)
\(\displaystyle{ z=0}\)
\(\displaystyle{ z=x + y + 1}\)
\(\displaystyle{ x\geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ y \geqslant 0}\)

Z rysunku wiem, że jest to cylinder ścięty płaszczyzną oraz ograniczony do jednej ćwiartki.

Wyznaczam granice
\(\displaystyle{ 0 \leqslant z \leqslant x + y + 1 \Rightarrow 0 \leqslant z \leqslant r\cos\varphi + r\sin\varphi + 1}\)
\(\displaystyle{ 0 \leqslant r \leqslant 3}\)
\(\displaystyle{ 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi /2}\)

Po zcałkowaniu wychodzi mi \(\displaystyle{ 9 + \frac{9\pi}{2}}\) a powinno wyjść \(\displaystyle{ 18 + \frac{9\pi}{2}}\)

EDIT: Umieściłem w złym dziale, proszę o przeniesienie.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Objętość bryły | cała potrójna

Post autor: aalmond » 5 wrz 2011, o 17:46

Granice są w porządku.
Uwzględniasz jakobian przekształcenia?

timonfreak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 15:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Objętość bryły | cała potrójna

Post autor: timonfreak » 5 wrz 2011, o 18:11

Tak, uwzględniam. jakobian to standardowo r, prawda?

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Objętość bryły | cała potrójna

Post autor: aalmond » 5 wrz 2011, o 18:23

To w takim razie robisz błąd przy liczeniu całki. Wynik, to: \(\displaystyle{ 18 + \frac{3}{2} \pi}\)

timonfreak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 15:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Objętość bryły | cała potrójna

Post autor: timonfreak » 5 wrz 2011, o 18:56

No bo robiłem, faktycznie. Dzięki

ODPOWIEDZ