rzut punktu na prostą

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
adaptacja_film
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 26 lip 2011, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 6 razy

rzut punktu na prostą

Post autor: adaptacja_film » 5 wrz 2011, o 16:52

Witam,
mógłby ktoś krok po kroku rozpisać jak się rozwiązuje zadania typu:

"Znaleźć rzut punktu P(1,2,6) na prostą \(\displaystyle{ L:\begin{cases} x+y-z+1=0\\2x-y-3z-4=0\end{cases}}\) "

Z góry dzięki.

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

rzut punktu na prostą

Post autor: lukasz1804 » 5 wrz 2011, o 19:14

Zapisz równanie prostej w postaci parametrycznej (z jednym parametrem \(\displaystyle{ t}\)). Każdy z punktów na tej prostej ma wówczas współrzędne zależne tylko od tego jednego parametru.
Co więcej, rzut punktu na prostą to punkt na tej prostej leżący w najkrótszej odległości od danego punktu. Wystarczy zatem rozważyć funkcję odległości dwóch punktów (a najwygodniej kwadrat tej funkcji) i znaleźć jej minimum.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

rzut punktu na prostą

Post autor: Crizz » 5 wrz 2011, o 20:16

Można też, mając równanie parametryczne tej prostej, znaleźć taki punkt \(\displaystyle{ B\in L}\), że \(\displaystyle{ \vec{PB} \perp \vec{u}}\) (czyli iloczyn skalarny tych dwóch wektorów jest równy zeru), gdzie \(\displaystyle{ \vec{u}}\) jest wektorem kierunkowym tej prostej (za współrzędne punktu \(\displaystyle{ B}\) podstawiamy oczywiście przepisy na \(\displaystyle{ x,y,z}\) z równania parametrycznego prostej). Chyba trochę mniej liczenia (wektor kierunkowy i tak będziemy mieli, jak już wyznaczymy równanie parametryczne).

ODPOWIEDZ