rzut punktu na prostą

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
adaptacja_film
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 26 lip 2011, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wawa

rzut punktu na prostą

Post autor: adaptacja_film » 5 wrz 2011, o 16:52

Witam,
mógłby ktoś krok po kroku rozpisać jak się rozwiązuje zadania typu:

"Znaleźć rzut punktu P(1,2,6) na prostą \(L:\begin{cases} x+y-z+1=0\\2x-y-3z-4=0\end{cases}\) "

Z góry dzięki.

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

rzut punktu na prostą

Post autor: lukasz1804 » 5 wrz 2011, o 19:14

Zapisz równanie prostej w postaci parametrycznej (z jednym parametrem \(t\)). Każdy z punktów na tej prostej ma wówczas współrzędne zależne tylko od tego jednego parametru.
Co więcej, rzut punktu na prostą to punkt na tej prostej leżący w najkrótszej odległości od danego punktu. Wystarczy zatem rozważyć funkcję odległości dwóch punktów (a najwygodniej kwadrat tej funkcji) i znaleźć jej minimum.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

rzut punktu na prostą

Post autor: Crizz » 5 wrz 2011, o 20:16

Można też, mając równanie parametryczne tej prostej, znaleźć taki punkt \(B\in L\), że \(\vec{PB} \perp \vec{u}\) (czyli iloczyn skalarny tych dwóch wektorów jest równy zeru), gdzie \(\vec{u}\) jest wektorem kierunkowym tej prostej (za współrzędne punktu \(B\) podstawiamy oczywiście przepisy na \(x,y,z\) z równania parametrycznego prostej). Chyba trochę mniej liczenia (wektor kierunkowy i tak będziemy mieli, jak już wyznaczymy równanie parametryczne).

ODPOWIEDZ