Określenie punktów nieciągłości w całce zespolonej.

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Mr_Nobody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 20:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: świat
Podziękował: 3 razy

Określenie punktów nieciągłości w całce zespolonej.

Post autor: Mr_Nobody » 5 wrz 2011, o 16:14

Witam,
Mam do policzenia taką całkę :

\(\displaystyle{ \int_{L} \frac{e^{-z}}{(z+1)^{2}}}\) gdzie \(\displaystyle{ L : \left| z-4 \right| + \left| z+4 \right| = 10}\)

Sama całka zdaje się być prosta bo policzę ją ze wzorów całkowych Cauchy'ego. Jednak najpierw należy sprawdzić czy istnieją przypadkiem punkty nieciągłości... W zadaniach które dotychczas rozwiązywałem L wyglądało mniej więcej tak : \(\displaystyle{ \left| z-x \right| = r}\), w takim przypadku rysuję układ współrzędnych, potem rysuję odpowiednio przesunięty o x okrąg o promieniu r i sprawdzam czy istnieją jakieś punkty nieciągłości. Jednak teraz zdaje się że to nie jest okrąg, tylko elipsa... Niestety nie mam koncepcji jak do tego podejść, proszę o jakieś wskazówki.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9322
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

Określenie punktów nieciągłości w całce zespolonej.

Post autor: Dasio11 » 5 wrz 2011, o 21:33

Ponieważ \(\displaystyle{ z_0=-1}\) leży we wnętrzu wspomnianej elipsy, można oznaczyć \(\displaystyle{ f(z)=e^{-z}}\) i skorzystać z tego, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \pi \mathrm i} \int \limits_L \frac{f(z)}{(z+1)^2} \mbox dz = f'(-1)}\)

Oczywiście zakładam, że \(\displaystyle{ L}\) ma orientację dodatnią.

P.S. Czy to okrąg, elipsa czy kwadrat, nie ma znaczenia, bo przecież całki po wszystkich konturach z danej funkcji zależą wyłącznie od punktów osobliwych, które się w środku znajdą.

Mr_Nobody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 20:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: świat
Podziękował: 3 razy

Określenie punktów nieciągłości w całce zespolonej.

Post autor: Mr_Nobody » 5 wrz 2011, o 23:36

Edit: Już zrozumiałem.
Dzięki wielkie.

ODPOWIEDZ