Wlasnosci funkcji - udowdnic.

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
lenkaja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 383
Rejestracja: 10 mar 2009, o 22:56
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Wlasnosci funkcji - udowdnic.

Post autor: lenkaja » 5 wrz 2011, o 16:03

Udowodnij, ze jezeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) (dziedzina i zbior wartosci: \(\displaystyle{ R}\)) spelnia dla kazdej liczby nierownosci:
\(\displaystyle{ f(x+3) \le f(x)+3}\)
\(\displaystyle{ f(x+2) \ge f(x)+2}\),
to funkcja \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-x}\) jest okresowa.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wlasnosci funkcji - udowdnic.

Post autor: miki999 » 5 wrz 2011, o 19:12

Oszacuj \(\displaystyle{ g(x+6)}\) najpierw z 1., a potem z 2. nierówności.


Pozdrawiam.

lenkaja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 383
Rejestracja: 10 mar 2009, o 22:56
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Wlasnosci funkcji - udowdnic.

Post autor: lenkaja » 6 wrz 2011, o 10:39

A moglbys troche bardziej to rozpisac? Bo probuje i mi nic nie wychodzi.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wlasnosci funkcji - udowdnic.

Post autor: miki999 » 6 wrz 2011, o 10:44

Z pierwszej nierówności: \(\displaystyle{ g(x+6)=g((x+3)+3) \le ...}\)
Z drugiej nierówności: \(\displaystyle{ g(x+6) =g((x+4)+2)\ge ...}\)

Postaraj się dokończyć.

lenkaja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 383
Rejestracja: 10 mar 2009, o 22:56
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Wlasnosci funkcji - udowdnic.

Post autor: lenkaja » 6 wrz 2011, o 10:48

No wlasnie tak zrobilam i :
\(\displaystyle{ f(x+6) \le f(x+3)+3}\)
\(\displaystyle{ f(x+6) \ge f(x+2)+4}\)
Czyli:\(\displaystyle{ f(x+2)+4-x-6 \le g(x+6) \le f(x+3)+3-x-6}\)
\(\displaystyle{ f(x+2)-(x+2) \le g(x+6) \le f(x+3)-(x+3)}\)


\(\displaystyle{ g(x+2) \le g(x+6) \le g(x+3)}\).
I co dalej?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wlasnosci funkcji - udowdnic.

Post autor: miki999 » 6 wrz 2011, o 15:24

No wlasnie tak zrobilam i :
\(\displaystyle{ f(x+6) \le f(x+3)+3\\ f(x+6) \ge f(x+2)+4}\)
Teraz rozpisz dalej pierwszą nierówność korzystając z 1. zależności oraz drugą korzystając z drugiej zależności.

lenkaja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 383
Rejestracja: 10 mar 2009, o 22:56
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Wlasnosci funkcji - udowdnic.

Post autor: lenkaja » 8 wrz 2011, o 11:25

Czyli ostatecznie mam dosjc do rownosci: \(\displaystyle{ g(x+6)=g(x)}\) dla kazdego \(\displaystyle{ x \in R}\). A to znaczy ze jest okresowa?
Bo tak mi wyszlo?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wlasnosci funkcji - udowdnic.

Post autor: miki999 » 8 wrz 2011, o 16:12

Zgadza się.

ODPOWIEDZ