Zaburzanie sumy

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
ibefree
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 5 wrz 2011, o 15:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Zaburzanie sumy

Post autor: ibefree » 5 wrz 2011, o 15:12

Mam do zrobienia dwie sumy. Pomoże ktoś?

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i} \cdot i^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i}}\)

z góry dzięki
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2011, o 15:25 przez Anonymous, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

emperor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 12 lis 2008, o 15:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Zaburzanie sumy

Post autor: emperor2 » 5 wrz 2011, o 16:08

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i} =}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)^{2} \cdot 2^{i+1} =}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(i+1)^{2} \cdot 2^{i+1} + 2 - (n+1)^{2} \cdot 2^{n+1}=}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i+1} + \sum_{i=1}^{n}2i \cdot 2^{i+1} + \sum_{i=1}^{n}1 \cdot 2^{i+1} + 2 - (n+1)^{2} \cdot 2^{n+1}=}\)
\(\displaystyle{ 2\sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i} + 4 \sum_{i=1}^{n}i \cdot 2^{i} + 2 \sum_{i=1}^{n}1 \cdot 2^{i} + 2 - (n+1)^{2} \cdot 2^{n+1}}\)

po lewej i po prawej mamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i}}\), więc odejmujemy te wyrażenia i przerzucamy wszystko na przeciwne strony, żeby nie było minusów:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{2} \cdot 2^{i} = (n+1)^{2} \cdot 2^{n+1} - 2 - 4 \sum_{i=1}^{n}i \cdot 2^{i} - 2 \sum_{i=1}^{n} 2^{i}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i \cdot 2^{i}}\) liczymy analogicznie, powinno wyjść:
\(\displaystyle{ 2^{n+1}(n-1)+2}\)
i podstawiamy.
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} 2^{i}}\) to suma ciągu geometrycznego z \(\displaystyle{ a_{1}=2}\) i \(\displaystyle{ q=2}\). Liczymy ją ze wzoru i też podstawiamy to naszego równania.

-- 5 września 2011, 16:24 --

A tą drugą sumę możesz rozbić na dwie sumy: suma kwadratów liczb parzystych i nieparzystych.
Nieparzyste kwadraty będą z minusami, a parzyste z plusami, więc:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i} \cdot i^{2} = \sum_{i=1}^{x}(2i)^{2} - \sum_{i=1}^{x} (2i-1)^{2}}\)

gdzie x to podłoga/sufit z \(\displaystyle{ n/2}\), zależnie od parzystości n, o ile się nie pomyliłem.

Jak obliczyć sumę kwadratów liczb?
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2011, o 16:25 przez emperor2, łącznie zmieniany 1 raz.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Zaburzanie sumy

Post autor: » 5 wrz 2011, o 16:24

258562.htm

Q.

ODPOWIEDZ