p.Hausdorffa/ Homeomorfizm/topologia słabsza

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
x88x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 22 sie 2011, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska

p.Hausdorffa/ Homeomorfizm/topologia słabsza

Post autor: x88x » 5 wrz 2011, o 12:10

Pokazać, że każde ciagłe, wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zwartej przestrzeni S na przestrzeń Hausdorffa T jest homeomorfizmem. Wywnioskować stąd, że żadna przestrzeń zwarta X nie dopuszcza istnienia słabszej topologii Hausdorffa.

brzoskwinka1

p.Hausdorffa/ Homeomorfizm/topologia słabsza

Post autor: brzoskwinka1 » 5 wrz 2011, o 12:22

Niech \(\displaystyle{ f:S \rightarrow T}\) będzie ciągłym i wzajemnie jednoznacznym przekształceniem zwartej przestrzeni \(\displaystyle{ S}\) na przestrzeń Hausdorffa \(\displaystyle{ T.}\) Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ S.}\) Wówczas z równości \(\displaystyle{ (f^{-1} )^{-1} (A) =f(A)}\) wnioskujemy, że zbiór \(\displaystyle{ (f^{-1} )^{-1} (A)}\) jest domknięty (gdyż obraz zbioru zwartego przy przekształceniu ciągłym jest zbiorem zwartym, ponadto zwarte podzbiory przestrzeni topologicznej Hausdorffa są domknięte) więc \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest ciągłe czyli \(\displaystyle{ f}\) jest homeomorfizmem.

Niech teraz \(\displaystyle{ (X, \tau_1 )}\) będzie zwartą przestrzenią topologiczną, natomiast \(\displaystyle{ \tau_2}\) niech będzie topologią Hausdorffa na \(\displaystyle{ X}\), słabszą niż \(\displaystyle{ \tau_1 .}\)
Rozważmy odwzorowanie \(\displaystyle{ \mbox{id} X,\tau_1 ) \rightarrow (X, \tau_2 )}\) jest ono ciągłą bijekcją a więc na mocy poprzedniego jest homeomorfizmem. Czyli \(\displaystyle{ \tau_1 =\tau_2 .}\)

ODPOWIEDZ