Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: Timbus » 5 wrz 2011, o 11:37

Witam!

Mam zadanie treści: Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=3+2x+2y-2x ^{2} -2xy-y ^{2}}\)

Chodzi mi tylko o to aby ktoś sprawdził czy dobrze zrobiłem to zadanie bo muszę mieć 100% pewności.

Moje wyniki:
Punkt \(\displaystyle{ P(0,0)}\)
\(\displaystyle{ W(x,y)=4}\)
W punkcie \(\displaystyle{ 4}\) istnieje ekstremum
w punkcie \(\displaystyle{ -4}\) istnieje maksimum
\(\displaystyle{ f(max)=3}\)


Proszę o sprawdzenie czy jest dobrze. Jeśli coś będzie się nie zgadzać rozpiszę całe zadanie krok po kroku.

Pozdrawiam!
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2011, o 21:29 przez Dasio11, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nawet niewielkie wyrażenia matematyczne postaraj się zapisywać w LaTeXu.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: miki999 » 5 wrz 2011, o 12:05

Podaj obliczenia, to ktoś sprawdzi.

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: Timbus » 5 wrz 2011, o 12:38

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = 2-4x-2y \\ \\ \frac{ \partial f}{ \partial y} = 2-2x-2y \\ \\ 2-4x-2y=0 \\ 2-2x-2y=0}\)

czyli:

\(\displaystyle{ -2x-y=0 \\ -x-y=0}\)

\(\displaystyle{ x=-y}\) ; czyli \(\displaystyle{ y=0}\) i \(\displaystyle{ x =0}\)



\(\displaystyle{ W(x,y)=-4 \cdot (-2)-(-2) ^{2} \\ W(x,y)=4}\)

\(\displaystyle{ W(0,0)=4}\) - w tym punkcie istnieje ekstremum.


\(\displaystyle{ \frac{ \partial^{2} f (0,0) }{ \partial x^{2} } = -4 \\ \\ f(max)=f(0,0)=3}\)
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2011, o 21:27 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wystarczy jedna para klamer [latex][/latex] na kilka linijek tekstu matematycznego.

loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3044
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 816 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: loitzl9006 » 5 wrz 2011, o 12:43

Źle jest ten układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x-y=0 \\ -x-y=0 \end{cases}}\)

Popraw go. Pochodne policzyłeś dobrze.

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: Timbus » 5 wrz 2011, o 13:01

\(\displaystyle{ x=1}\); \(\displaystyle{ y=-1}\) ?
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2011, o 21:28 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nawet niewielkie wyrażenia matematyczne postaraj się zapisywać w LaTeXu.

loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3044
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 816 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: loitzl9006 » 5 wrz 2011, o 13:11

Nie. Powoli.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 -2x-y=0 \\ 2 -x-y=0 \end{cases}}\)

Rozwiąż ten układ równań, np metodą przeciwnych współczynników.

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: Timbus » 5 wrz 2011, o 13:22

Teraz wychodzi mi x=0, y=2. Ale dlaczego

\(\displaystyle{ 2-2x-y=0}\)
\(\displaystyle{ 2-x-y=0}\)

Czy skoro skracamy przez 2 nie powinniśmy również skrócić tej 2 na samym początku?

loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3044
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 816 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: loitzl9006 » 5 wrz 2011, o 13:43

Timbus pisze: Czy skoro skracamy przez 2 nie powinniśmy również skrócić tej 2 na samym początku?
Jasne, że powinniśmy. Mój błąd. Powinno być zatem (po skróceniu przez \(\displaystyle{ 2}\)) :

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1 -2x-y=0 \\ 1 -x-y=0 \end{cases}}\)

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: Timbus » 5 wrz 2011, o 13:52

czyli w takim wypadku \(\displaystyle{ x=0}\) a \(\displaystyle{ y=1}\), tak?
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2011, o 21:28 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nawet niewielkie wyrażenia matematyczne postaraj się zapisywać w LaTeXu.

loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3044
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 816 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: loitzl9006 » 5 wrz 2011, o 13:58

tak

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: Timbus » 5 wrz 2011, o 14:03

Czyli idąc dalej tym tropem w sumie reszta zostaje taka sama jak wcześniej tylko \(\displaystyle{ f(max)}\) zmienia się na \(\displaystyle{ 4}\), tak?
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2011, o 21:29 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3044
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 816 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: loitzl9006 » 5 wrz 2011, o 14:07

Dokładnie jest tak, jak piszesz. wstawiamy do funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)}\) :

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}}\)

Otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x _{0};y _{0})=f(0;1)=f(max)=4}\)

Timbus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 3 razy

Analiza, ekstrema lokalne funkcji

Post autor: Timbus » 5 wrz 2011, o 14:11

Ok dziękuję Ci bardzo za pomoc.

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ