Matematyka.pl

nie wiem jak rozwiązać zadanie:

wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu \(\displaystyle{ (a _{n})}\) wyznaczonego przez następujące warunki rekurencyjne:
\(\displaystyle{ a _{0}=0 \\
a _{1}=4 \\
a _{n}=3a _{n-2}-2a _{n-1}}\)

Poszukaj pod hasłem "funkcje tworzące" albo "równanie charakterystyczne dla rekurencji liniowej".

Q.

Nie wiem na ile to jest dobrze ale ja bym to zrobił tak

\(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n} x^{n}= a_{0}+ a_{1}x+ \sum_{n=2}^{ \infty }a_n x^{n}}\)
\(\displaystyle{ =4x+ \sum_{n=2}^{ \infty }(3a_{n-2}-2a_{n-1}) x^{n}}\)
\(\displaystyle{ =4x+ \sum_{n=2}^{ \infty }3a_{n-2}x^{n}- \sum_{n=2}^{ \infty }2a_{n-1} x^{n}}\)

\(\displaystyle{ S(x)=4x+3 x^{2}S(x)-2xS(x)}\)

\(\displaystyle{ S(x)-3 x^{2}S(x)+2xS(x)=4x}\)

\(\displaystyle{ S(x)= \frac{4x}{1-3 x^{2}+2x }}\)

\(\displaystyle{ \frac{-4x}{(x-1)(3x+1)}= \frac{A}{x-1}+ \frac{B}{1+3x}}\)

Po obliczeniu A i B wyszło
A=-1 i B=-1

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}+ \frac{-1}{1+3x}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^{n+1} 3^{n}x^{n}}\)

Czyli

\(\displaystyle{ a_{n}=1+ (-1)^{n+1}3^{n}}\)

-- 9 wrz 2011, o 14:24 --

A tak poza tym to chyba pisaliśmy ten sam egzamin

Kryftof, bardzo prawdopodobne hmm mi wyszło \(\displaystyle{ an=-1*1 ^{n}+(-3) ^{n}}\)

Ja bym zrobił to przekształcając do równania charakterystycznego (tak jak zaproponował Qń), czyli:

\(\displaystyle{ a_{0} = 0\\
a_{1} = 4\\
a_{n} = -2a_{n-1} + 3a_{n-2}\\ \\

r^{2}+2r-3=0\\
\Delta = 16\\
\sqrt{\Delta} = 4\\ \\

r_{1} = \frac{-2-4}{2} = -3\\
r_{2} = \frac{-2+4}{2} = 1\\ \\

a_{n} = c_{1}(-3)^{n} + c_{2} \\ \\

\begin{cases} 0=c_{1}+c_{2}\\4=-3c_{1}+c_{2}\end{cases} \\

-c_{1} = c_{2} \\ \\

4=-3c_{1}-c_{1}\\
4=-4c_{1}\\
c_{1}=-1 \Rightarrow c_{2}=1 \\ \\

a_{n}=-1\cdot (-3)^{n} +1}\)

Na to samo wychodzi