Obliczyć całkę krzywolinniową.

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Obliczyć całkę krzywolinniową.

Post autor: gobi12 » 5 wrz 2011, o 04:09

Oblicz całkę:
\(\displaystyle{ \oint (xy^{2} -x arctgy)dx+(yx^{2}+yln(1+y))dy}\) Gdzie L jest brzegiem trójkąta O=(0,0); A=(1,1); B=(0,1) zorientowanym dodatnio.

\(\displaystyle{ P=(xy^{2} -x arctgy) \ \ \ \ \ Q= (yx^{2}+yln(1+y)) \\ \\ \frac{ \partial Q}{ \partial x} = 2xy \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{ \partial P}{ \partial y} = 2xy - \frac{x}{1+x^{2}} \\ \\ \\ \\ \int_{0}^{1} ( \int_{x}^{1} (2xy - 2xy + \frac{x}{1+x^{2}} ) dy)dx}\)

Moje pytanie brzmi czy rozwiązanie ma polegać tylko na policzeniu takiej całki i czy to wszytko powyżej jest dobrze.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18773
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3733 razy

Obliczyć całkę krzywolinniową.

Post autor: szw1710 » 5 wrz 2011, o 09:48

Czy coś Ci się w tej całce nie upraszcza? Popraw obliczenie drugiego składnika w \(\displaystyle{ P'_y.}\) Tak, wystarczy wyliczyć całkę podwójną - tw. Greena.

gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Obliczyć całkę krzywolinniową.

Post autor: gobi12 » 5 wrz 2011, o 13:08

\(\displaystyle{ P=(xy^{2} -x arctgy) \ \ \ \ \ Q= (yx^{2}+yln(1+y))}\)


\(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{ \partial x} = 2xy \\}\)



\(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y} = 2xy - \frac{x}{1+y^{2}}}\)


\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} ( \int_{x}^{1} ( \frac{x}{1+y^{2}} ) dy)dx}\)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18773
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3733 razy

Obliczyć całkę krzywolinniową.

Post autor: szw1710 » 5 wrz 2011, o 13:22

Tak jest, teraz oblicz tę całkę.

gobi12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 18 mar 2008, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wysokie Mazowieckie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 6 razy

Obliczyć całkę krzywolinniową.

Post autor: gobi12 » 5 wrz 2011, o 14:04

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} ( \int_{x}^{1} ( \frac{x}{1+y^{2}} ) dy)dx}\)

\(\displaystyle{ x \int \frac{1}{1+y^{2}} dy = x arctgx + C \\ x \int_{x}^{1} \frac{1}{1+y^{2}} dy = x arctg(1) - x arctgx \\ \int ( x arctg(1) - x arctgx) dx = \frac{\pi}{4} \int x dx - \int x arctg dx = \frac{\pi}{8}x^{2} - \int x arctg dx \\ \int x arctgx dx= \frac{1}{2} x^{2} arctgx - \int \frac{x^{2}}{2(1+x^{2})} dx = \frac{1}{2} x^{2} arctgx - \frac{1}{2} \int (1- \frac{1}{1+x^{2}}) dx = \frac{1}{2} x^{2} arctgx -\frac{1}{2} (\int dx - \int \frac {1}{1+x^2} dx ) = \frac{1}{2} x^{2} arctgx - \frac{1}{2} (x - arctgx) + C \\ \int_{0}^{1} ( \int_{x}^{1} ( \frac{x}{1+y^{2}} ) dy)dx = \frac {4-\pi}{8}}\)

Tak licząc na szybko to coś takiego mi wyszło.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18773
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3733 razy

Obliczyć całkę krzywolinniową.

Post autor: szw1710 » 5 wrz 2011, o 14:11

Świetnie.

ODPOWIEDZ