Równanie jednorodne

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
[pawciu]
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 3 gru 2010, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nieznana
Podziękował: 16 razy

Równanie jednorodne

Post autor: [pawciu] » 4 wrz 2011, o 20:43

\(\displaystyle{ x \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } + x\tg \left( \frac{y}{x} \right) =y}\)
przekształcam do postaci równania jednorodnego dzieląc przez x
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } + \tg \left( \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x}=0}\)
dalej podstawienie, całkowanie równania i otrzymuje wynik
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{C}{x}}\)
Jak podstawić wynik do równania i sprawdzić czy sie zgadza ?
Proszę o pomoc
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 23:48 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

aalmond
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2911
Rejestracja: 1 maja 2006, o 21:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 623 razy

Równanie jednorodne

Post autor: aalmond » 4 wrz 2011, o 20:48

Tę funkcję można przedstawić w formie nieuwikłanej.

[pawciu]
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 3 gru 2010, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nieznana
Podziękował: 16 razy

Równanie jednorodne

Post autor: [pawciu] » 4 wrz 2011, o 20:57

tzn. \(\displaystyle{ y=x\arcsin \left( \frac{C}{x} \right)}\) ??
Podstawilem to i wyszlo ostatecznie \(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{C}{x} \right) =\arctan \left( \frac{C}{ \sqrt{x ^{2} -C ^{2} } } \right)}\)
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 23:49 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Równanie jednorodne

Post autor: Karoll_Fizyk » 4 wrz 2011, o 21:23

Zgodnie z zależnością pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a funkcjami cyklometrycznymi, zachodzi:
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{C}{x} \\ \frac{y}{x} = \arc\sin \left( \frac{C}{x} \right) \\ y(x) = x \cdot \arc\sin \left( \frac{C}{x} \right)}\)

Na nieszczęście dochodzą nam jeszcze ograniczenia:
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} \in \left[ - \frac{ \pi}{2} ; \frac{ \pi}{2} \right] \\ \frac{C}{x} \in \left[ -1; 1 \right]}\)

Pozdrawiam!
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 23:50 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \arc\sin

ODPOWIEDZ