Matematyka.pl

Wyznaczyć trajektorie ortogonalną rodziny krzywych \(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} +2y=c}\)

Na początek wyznaczę równanie różniczkowe którego rozwiązaniem będzie rodzina lini. Zaczne od wyrugowania parametru c, jednak juz tu napotykam problem. Chcę wykorzystać do tego układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial F(x,y,c)}{ \partial x} + \frac{ \partial F(x,y,c)}{ \partial y} \frac{dy}{dx} = 0, \\ F(x,y,c)=0 \end{cases}}\),
jednak w pierwszym równaniu nie pojawia sie w ogóle parametr c. Czy w tym wypadku pierwsze równanie będzie szukanym równaniem różniczkowym ??
Bardzo proszę o pomoc

Tak, tutaj to równanie różniczkowe daje Ci tę rodzinę okręgów, gdyż masz bardzo prosty i przyzwoity przykład, typowy dla równań zupełnych. W bardziej skomplikowanych trzeba z tego wyznaczać c.

Ok w takim razie równanie różniczkowe rodziny linii ma postać \(\displaystyle{ 2x+ (2y+2) \frac{dy}{dx}=0}\)
Teraz wystarczy tylko zamienić \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) na \(\displaystyle{ \frac{-1}{\frac{dy}{dx}}}\) i otrzymujemy równanie różniczkowe trajektorii ortogonalnych \(\displaystyle{ 2x- (2y+2) \frac{dx}{dy}=0}\)
Czy to jest w porządku ?

W sumie dobrze byłoby to równanie ortogonalne "obrócić", by dawało zależność na y(x) a nie x(y).

\(\displaystyle{ x \frac{dy}{dx}=y+1}\)
To juz chyba napewno dobrze

Tak, jest elegancko.