Strona 1 z 1
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 18:30
autor: motylanoga
Witam
dawno nie siedzialem przy matmie i w zwiazku z tym prosze o pomoc z takim szeregiem
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)!}{(2n)^n}}\)
jade go z d'alemberta czyli mam
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{((n+1)+1)!}{(2(n+1))^n^+^1}}\)
troche sie gubie z tymi silniami moze ktos pomoc?
dzieki
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 19:21
autor: ares41
No więc po uproszczeniu masz:
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{(n+2)!}{2^{n+1} \cdot (n+1)^{n+1}}}\)
Policz teraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 19:49
autor: motylanoga
no jakby Ci to powiedziec.. tutaj wlasnie mam problem ze nie wiem jak poskracac te silnie ale moze pokaze co mam
\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{(n+2)!}{2^{n+1} \cdot (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n)^n}{(n+1)!}}\)
czyli mam
\(\displaystyle{ \frac{n! \cdot (n+1)(n+2)}{2^n \cdot 2 \cdot (n+1)^n \cdot (n+1)} \cdot \frac{2^n \cdot n^n}{n! \cdot (n+1)}}\)
i tutaj pytanie czy to jest ok?
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 19:52
autor: ares41
Na razie wygląda Ok (poza tym zapisem, że to wyrażenie równa się \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) )
Teraz skróć przez \(\displaystyle{ n! \cdot (n+1) \cdot 2^{n}}\)
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 20:00
autor: motylanoga
no jasna sprawa czyli zostaje
\(\displaystyle{ \frac{(n+2) \cdot n^n}{2(n+1)^n \cdot (n+1)}}\)
i co dalej?
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 20:01
autor: ares41
Podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^n}\) i skorzystaj z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\).
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 20:13
autor: motylanoga
no tak to widac czyli zostaje
\(\displaystyle{ \frac{1}{e} \cdot \frac{(n+2)}{2(n+1)}}\)
czyli co wychodzi ze \(\displaystyle{ \frac{1}{2e}}\)?
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 20:15
autor: ares41
Tak.
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{1}{2e}}\)
Jaki z tego wniosek?
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 20:19
autor: motylanoga
yyy.. nie wiem
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 20:21
autor: ares41
A o czym mówi kryterium d'Alemberta?
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 20:23
autor: motylanoga
aaaa o to Ci chodzi
no ze szereg jest zbiezny
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 20:24
autor: ares41
Tak.
zbieżność szeregu
: 4 wrz 2011, o 20:26
autor: motylanoga
ok dzieki