Matematyka.pl

Zadanie brzmi następująco:
Korzystając z twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną
\(\displaystyle{ \int\limits_{S} \left(x^{2}+yz\right)\,\text{d}y\,\text dz + \left(xz+y^{2}\right)dz\,\text{d}x+ xy^{2}\,\text{d}x\,\text{d}y}\)
po powierzchni zewnętrznej walca \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le 1 , \ 0 \le z \le1}\)
Skorzystałem z tego twierdzenia i wyszła mi całka, która we współrzędnych walcowych wyraża się następująco:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} r^{2}\left(\sin \phi + \cos \phi\right)\,\text{d}\phi\, \text{d}r\,\text dz}\)
Całka ta równa jest zero. Nie jestem pewien, czy dobrze zastosowałem to twierdzenie. Czy przy jego stosowaniu trzeba zwracać uwagę na orientację poszczególnych kawałków powierzchni? Jeśli rzeczywiście coś sknociłem, to proszę o sprostowanie i wyjaśnienie. Jeśli nie, to o krótkie potwierdzenie wyniku:)

Postać całki otrzymana przez Ciebie jest poprawna.

Niedawno wypowiadałem się w temacie dotyczącym parametryzacji obszaru kawałkami gładkiego: 260384.htm . Gdybyś miał wątpliwości, zadaj konkretne pytanie.

Dziękuję bardzo:)

-- 8 wrz 2011, o 18:02 --

Mam wątpliwości co do obliczania całek powierzchniowych skierowanych bez stosowania twierdzenia GGO. Załóżmy, żę chciałbym powyższą całkę obliczyć bezpośrednio. W tym celu dzielęją na 3 całki, które dodaję do siebie. Pierwsza z nich to \(\displaystyle{ \int\limits_{S} \left(x^{2}+yz\right)\,\text dy\,\text dz}\) Muszę więc policzyć 2 całki powierzchniowe po obszarze będącym rzutem prostokątnym połowy walca na płaszczyznę \(\displaystyle{ oyz}\), później je dodać. Tutaj jest właśnie moje pytanie: czy ze względu na orientację płatów powierzchni względem osi \(\displaystyle{ ox}\) przy obliczaniu jednej z nich (tej dla \(\displaystyle{ x \le 0}\)) trzeba będzie wstawić minus przed całkę, a przy drugiej nie trzeba będzie tego robić?

Najpierw wyznacz równania parametryczne powierzchni bocznej walca oraz jego podstaw, następnie sprawdź zgodność parametryzacji z orientacją i zamień całkę powierzchniową na całkę po parametrach. Takie postępowanie pozwala na ograniczenie się do obliczenia jednej całki. Przedstawienie \(\displaystyle{ \text dy\wedge \text dz}\) w nowych współrzędnych nie będzie wymagające.

Nasz ćwiczeniowiec nie był łaskaw pokazać nam na czym polega sprawdzanie zgodności parametryzacji z orientacją. Czy parametryzacja w przypadku tego zadania będzie następująca:
Powierzchnia boczna:
\(\displaystyle{ x=\cos t, y=\sin t, z=z}\)
\(\displaystyle{ t \in \left[0,2\pi\right], z \in \left[0,1\right]}\)
Podstawy:
\(\displaystyle{ x=r\cos t, y=r\sin t, z=0 \vee z=1}\)
\(\displaystyle{ t \in \left[0,2\pi\right], r \in \left[0,1\right]}\)
Jeśli nie tak, to jak należy sparametryzować ten walec i jak sprawdzić zgodność parametryzacji z orientacją?

Podana przez Ciebie parametryzacja jest poprawna. Zgodność z orientacją sprawdzisz obliczając współrzędne wektora normalnego na podstawie równań parametrycznych. Parametryzacja będzie zgodna z orientacją jeśli zwrot wektora będzie zgodny z przyjętą dodatnią stroną powierzchni.

Czyli należy teraz osobno dla pow. bocznej i dla podstaw wykonać obliczenia?
Sprawdź, proszę, czy to jest poprawnie:
\(\displaystyle{ r_{t}=\left(\sin t,-\cos t,0\right)}\)
\(\displaystyle{ r_{z}=\left(0,0,1\right)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ r_{t} \times r_{z} = \left(-\cos t,-\sin t,0\right)}\)
Teraz przystawiam ten wektor do jakiegokolwiek punktu na powierzchni bocznej i voila(widać, że parametryzacja jest przeciwna do orientacji całki, więc trzeba będzie postawić minus)? Analogicznie z podstawami?
Mam jeszcze dwa pytania. Gdyby \(\displaystyle{ d \neq const}\) wtedy miałbym 3 parametry (d to odleglosc od osi z). Miałbym wtedy \(\displaystyle{ r_{t}, r_{z}}\) i \(\displaystyle{ r_{d}}\). Jak wtedy obliczyć wektor normalny?
Moje drugie pytanie jest następujące:
Trzeba obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną \(\displaystyle{ \int\limits_{K} \left(y^{2}+z^{2}\right)\,\text{d}x + \left(x^{2}+z^{2}\right)\,\text{d}y+\left(x^{2}+y^{2}\right)\,\text{d}z}\) korzystając z twierdzenia Stokesa . K jest krzywą łamaną, która przebiega po punktach \(\displaystyle{ A\left(0,0,0\right),B\left(1,1,0\right),C\left(1,1,1\right)}\) w kolejności \(\displaystyle{ ABCA}\). Sprawdziłem, że parametryzacja jest zgodna z orientacją (wraz ze wzrostem parametru poruszamy się "do przodu"). Ale jak wybrać dodatnią stronę tej powierzchni po zastosowaniu twierdzenia Stokesa?

darkmiki pisze:Czyli należy teraz osobno dla pow. bocznej i dla podstaw wykonać obliczenia?
Sprawdź, proszę, czy to jest poprawnie

popełniłeś niewielki błąd podczas wyznaczania pochodnych; \(\displaystyle{ (\sin x)^\prime=\cos x}\)

darkmiki pisze:Teraz przystawiam ten wektor do jakiegokolwiek punktu na powierzchni bocznej i voila(widać, że parametryzacja jest przeciwna do orientacji całki, więc trzeba będzie postawić minus)? Analogicznie z podstawami?

zgadza się

darkmiki pisze:Mam jeszcze dwa pytania. Gdyby \(\displaystyle{ d \neq const}\) wtedy miałbym 3 parametry (d to odleglosc od osi z).

płat powierzchni jest rozmaitością różniczkowalną dwuwymiarową, w przestrzeni trójwymiarowej opisuje się ją za pomocą trzech równań parametrycznych zależnych od dwóch parametrów; nie mogą występować trzy parametry

darkmiki pisze:Sprawdziłem, że parametryzacja jest zgodna z orientacją (wraz ze wzrostem parametru poruszamy się "do przodu").

zgadza się

darkmiki pisze:Ale jak wybrać dodatnią stronę tej powierzchni po zastosowaniu twierdzenia Stokesa?

zbadaj orientację wektora wyznaczoną na podstawie równań parametrycznych; jako dodatnią stronę powierzchni przyjmij tę wyznaczaną przez zwrot wektora

Dziękuję bardzo. Mam jeszcze jedno pytanie: kiedy obliczam \(\displaystyle{ dx}\), \(\displaystyle{ dy}\) i \(\displaystyle{ dz}\) w zadaniu z walcem, już po sprawdzeniu parametryzacji, po czym mam je różniczkować? Kiedy będę chciał obliczyć np strumień pola przez podstawę, to \(\displaystyle{ x=r \cos t}\). Jak wtedy obliczyć dx?

należy różniczkować po parametrach:
\(\displaystyle{ x=x(u,v)\\ \\ \text dx=\frac{\partial x}{\partial u}\,\text du+\frac{\partial x}{\partial v}\,\text dv}\)

Z tego co wiem, można za \(\displaystyle{ \text{d}y\,\text{d}z}\) przyjąć pierwszą współrzędną wektora normalnego do powierzchni, za \(\displaystyle{ \text{d}z\,\text{d}x}\) drugą itd. Wynika to chyba z tego, że \(\displaystyle{ \iint_{S} F\left( \vec{r} \right)\,\text dS = \iint_{D} \vec{r}\left(u,v\right) \cdot \left( \vec{r}_{u} \times \vec{r}_{v}\right)\,\text du\,\text dv}\). Wtedy \(\displaystyle{ \text{d}z\,\text{d}x}\) wychodzi inne niż Twoim sposobem

Takie przekształcenie odpowiada obliczeniu iloczynu skalarnego wektora natężenia pola oraz wektora reprezentującego powierzchnię. Obie metody postępowania są równoważne ze względu na definicję całki powierzchniowej skierowanej jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola oraz wektora reprezentującego powierzchnię. Dokładne wytłumaczenie znajdziesz tutaj: . Zamieść swoje obliczenia.