Równanie różniczkowe I rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
jarzynazeszczecina
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2011, o 13:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 3 razy

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: jarzynazeszczecina » 4 wrz 2011, o 13:29

Witam,

Mam do rozwiązania na pierwszy rzut oka bardzo łatwe równanie:
\(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=x}\)

Wydaje mi się że jest ono liniowe więc rozwiązuje w ten sposób:
\(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=0\\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{y}{x}/ \cdot \mbox{d}x \\ \mbox{d}y=\frac{-y \mbox{d}x }{x}/:y\\ \frac{ \mbox{d}y}{y}=-\frac{ \mbox{d}x }{x}/\int\\ \ln(y)=-\ln(x)+C/e^{(...)}\\ y=Ce^{\frac{1}{x}}}\)
uzmienniam stałą:
\(\displaystyle{ y=C(x)e^{\frac{1}{x}}\\ y'=C'(x) \cdot e^{\frac{1}{x}}+C(x) \cdot e^{\frac{1}{x}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right)}\)
po podstawieniu do równania wyjściowego:
\(\displaystyle{ C'(x) \cdot e^{\frac{1}{x}}+C(x) \cdot e^{\frac{1}{x}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) +\frac{C(x)e^{\frac{1}{x}}}{x}=x}\)
C(x) się nie skracają . Robiłem to i sprawdzałem kilka razy, i nic nie znalazłem może ktoś spojrzy trzeźwym okiem ja już nie mam na to siły...

Pozdrawiam i dziękuje


EDIT:

Ale ze mnie debil, w dodatku ślepy dzięki mateuszek89
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 19:25 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

mateuszek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1106
Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: toruń
Pomógł: 153 razy

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: mateuszek89 » 4 wrz 2011, o 13:40

tu masz błąd: \(\displaystyle{ \ln y=-\ln x+C_1}\) więc \(\displaystyle{ y=\frac{C}{x}}\). pozdrawiam!

Karoll_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 9 sie 2011, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 10 razy

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: Karoll_Fizyk » 4 wrz 2011, o 19:23

A dokładniej \(\displaystyle{ y = \frac{C _{1} }{x} + C _{2}}\)

ODPOWIEDZ