Równanie różniczkowe I rzędu

[jarzynazeszczecina]

Witam,

Mam do rozwiązania na pierwszy rzut oka bardzo łatwe równanie:
\(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=x}\)

Wydaje mi się że jest ono liniowe więc rozwiązuje w ten sposób:
\(\displaystyle{ y'+\frac{y}{x}=0\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{y}{x}/ \cdot \mbox{d}x \\
\mbox{d}y=\frac{-y \mbox{d}x }{x}/:y\\
\frac{ \mbox{d}y}{y}=-\frac{ \mbox{d}x }{x}/\int\\
\ln(y)=-\ln(x)+C/e^{(...)}\\
y=Ce^{\frac{1}{x}}}\)
uzmienniam stałą:
\(\displaystyle{ y=C(x)e^{\frac{1}{x}}\\
y'=C'(x) \cdot e^{\frac{1}{x}}+C(x) \cdot e^{\frac{1}{x}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right)}\)
po podstawieniu do równania wyjściowego:
\(\displaystyle{ C'(x) \cdot e^{\frac{1}{x}}+C(x) \cdot e^{\frac{1}{x}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) +\frac{C(x)e^{\frac{1}{x}}}{x}=x}\)
C(x) się nie skracają . Robiłem to i sprawdzałem kilka razy, i nic nie znalazłem może ktoś spojrzy trzeźwym okiem ja już nie mam na to siły...

Pozdrawiam i dziękuje


EDIT:

Ale ze mnie debil, w dodatku ślepy dzięki mateuszek89

[mateuszek89]

tu masz błąd: \(\displaystyle{ \ln y=-\ln x+C_1}\) więc \(\displaystyle{ y=\frac{C}{x}}\). pozdrawiam!

[Karoll_Fizyk]

A dokładniej \(\displaystyle{ y = \frac{C _{1} }{x} + C _{2}}\)