Matematyka.pl

Witam, mam takie zadania :

\(\displaystyle{ 1) (1+i)^{2011}}\)
\(\displaystyle{ 2) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right) ^{1200}}\)

Rozwiązanie 1)

\(\displaystyle{ \text{Re}z=1 \newline
\text{Im}z=1 \newline
\left| z\right| = \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\newline
\cos y =\frac{1}{\sqrt{2}}\newline
\sin y =\frac{1}{\sqrt{2}}\newline
y=a _{0} \newline
\text{Arg}=45 ^{o} =\frac{\pi}{4}\newline
\left( 1+i \right) ^{2011}=\sqrt{2}^{2011} \left( \cos \left( 2011\cdot\frac{\pi}{4} \right) +i\cdot \sin \left( 2011\cdot\frac{\pi}{4} \right)\right) \newline
\left( 1+i \right) ^{2011}=2^{????} \left( \cos \frac{2011}{4}\pi+i\cdot \sin \frac{2011}{4}\pi \right)}\)

co powinno być w miejscu ???? ?

nie wiem jak rozbić tą potęgę, czy może zostawić to jako \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{2011}}\) i czy w ogóle to jest poprawnie policzone ?

i nie wiem jak zacząć drugie zadanie....z góry dzięki za pomoc

Wskazówka dot. wykładnika:
\(\displaystyle{ 2011=2 \cdot 1005+1\\ \sqrt{a}=a^{ \frac{1}{2} }\\a^{n + m}=a^n \cdot a^m}\)

Argument możesz uprościć korzystając z okresowości f. trygonometrycznych.

Drugie zadanie robisz analogicznie:
\(\displaystyle{ \frac{i}{2}=i \cdot \frac{1}{2}}\)

Czyli przykład 2) będzie wyglądać tak :

\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \right)^{1200} \newline
z=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \newline
\left| z\right| =\sqrt{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=1 \newline
\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\newline
\sin x=\frac{1}{2}\newline
z=1^{1200}\left( \cos \frac{1200}{6}\pi+i \sin \frac{1200}{6}\pi\right)\newline
z= \cos 200\pi + i \sin 200\pi}\)

Czy wynik i działania są prawidłowe ?

btw. mam nadzieje, że już latex w 100 % prawidłowo zapisany

Zapisu można się doczepić.
Dlaczego we wzorze na moduł pojawia się jednostka urojona?
Dlaczego argumenty sinusa i cosinusa są różne?

Uprość jeszcze wartość argumentu, korzystając z okresowości f. trygonometrycznych.

\(\displaystyle{ \left| z\right| =\sqrt{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=1 \newline}\)

zamiast i jest już poprawnie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

i \(\displaystyle{ \sin \text{ z } \cos}\) powinien być taki sam \(\displaystyle{ \sin x, \cos x}\), przypadkowo napisałem dwa różne, jeśli mogę prosić o edycję tamtego posta, aby ludzie, którzy chcieli z tego korzystać by mieli poprawny zapis.

Tamto już poprawiłem.

Jeszcze jedna sprawa:
\(\displaystyle{ \sin{200\pi}=\sin(0+100 \cdot 2\pi)}=\sin{0}}\)