Rozwiązać równanie

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6103
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2532 razy
Pomógł: 671 razy

Rozwiązać równanie

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 wrz 2011, o 22:05

\(\displaystyle{ x^2+2ax +\frac{1}{16}=-a + \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}}\)
o ile \(\displaystyle{ 0 < a < \frac{1}{4}}\)
Ile wynosi x ? ( a jest znane (parametr))

frej

Rozwiązać równanie

Post autor: frej » 4 wrz 2011, o 13:51

Lemat 1
Niech \(\displaystyle{ f(t)=t^2+t}\). Jeśli \(\displaystyle{ f(p)=f(q)}\), to \(\displaystyle{ p=q}\) lub \(\displaystyle{ p+q=-1}\)

Przekształćmy równanie do postaci
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}} + \left( a^2+x-\frac{1}{16} \right)= x^2+x+2ax+a+a^2=x+a+(x+a)^2}\)
tzn.
\(\displaystyle{ f(\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}})=f(x+a)}\), więc z lematu mamy dwa przypadki do rozważenia:

1. \(\displaystyle{ x+a=\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}}\) do kwadratu i rozwiązujemy równanie kwadratowe
2. \(\displaystyle{ x+a+\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}=-1}\) to podobnie.

ODPOWIEDZ