\(\displaystyle{ x^2+2ax +\frac{1}{16}=-a + \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}}\)
o ile \(\displaystyle{ 0 < a < \frac{1}{4}}\)
Ile wynosi x ? ( a jest znane (parametr))
Rozwiązać równanie
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11414
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
frej
Rozwiązać równanie
Lemat 1
Niech \(\displaystyle{ f(t)=t^2+t}\). Jeśli \(\displaystyle{ f(p)=f(q)}\), to \(\displaystyle{ p=q}\) lub \(\displaystyle{ p+q=-1}\)
Przekształćmy równanie do postaci
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}} + \left( a^2+x-\frac{1}{16} \right)= x^2+x+2ax+a+a^2=x+a+(x+a)^2}\)
tzn.
\(\displaystyle{ f(\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}})=f(x+a)}\), więc z lematu mamy dwa przypadki do rozważenia:
1. \(\displaystyle{ x+a=\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}}\) do kwadratu i rozwiązujemy równanie kwadratowe
2. \(\displaystyle{ x+a+\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}=-1}\) to podobnie.
Niech \(\displaystyle{ f(t)=t^2+t}\). Jeśli \(\displaystyle{ f(p)=f(q)}\), to \(\displaystyle{ p=q}\) lub \(\displaystyle{ p+q=-1}\)
Przekształćmy równanie do postaci
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}} + \left( a^2+x-\frac{1}{16} \right)= x^2+x+2ax+a+a^2=x+a+(x+a)^2}\)
tzn.
\(\displaystyle{ f(\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}})=f(x+a)}\), więc z lematu mamy dwa przypadki do rozważenia:
1. \(\displaystyle{ x+a=\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}}\) do kwadratu i rozwiązujemy równanie kwadratowe
2. \(\displaystyle{ x+a+\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}=-1}\) to podobnie.