odległość w przestrzeni metrycznej

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
cauliflower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 8 mar 2011, o 14:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

odległość w przestrzeni metrycznej

Post autor: cauliflower » 3 wrz 2011, o 18:39

Czy mógłby ktoś mi wyjaśnić dlaczego \(\displaystyle{ d(\sin x \cos x)}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

odległość w przestrzeni metrycznej

Post autor: tometomek91 » 3 wrz 2011, o 18:43

Co to jest \(\displaystyle{ d( \cdot, \cdot )}\)?

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

odległość w przestrzeni metrycznej

Post autor: Ein » 4 wrz 2011, o 00:29

tometomek91 pisze:Co to jest \(\displaystyle{ d( \cdot, \cdot )}\)?
Tam nie ma przecinka

tometomek91
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2956
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 495 razy

odległość w przestrzeni metrycznej

Post autor: tometomek91 » 4 wrz 2011, o 12:58

Ein pisze: Tam nie ma przecinka
Sugerując się tematem, można podejrzewać, że \(\displaystyle{ d}\) to jakaś metryka. Pytanie tylko jaka...

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18773
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3733 razy

odległość w przestrzeni metrycznej

Post autor: szw1710 » 4 wrz 2011, o 15:45

To metryka supremum w przestrzeni funkcji ciągłych w \(\displaystyle{ [0,2\pi].}\) Wtedy rzeczywiście odległość sinusa od cosinusa wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{2}.}\)

Do wykazania jest więc, że

\(\displaystyle{ \sup_{x\in[0,2\pi]}|\sin x-\cos x|=\sqrt{2},}\)

co pozostawiam jako ćwiczenie.

Oczywiście temat zadania sformułowano wyjątkowo niechlujnie.

ODPOWIEDZ