Równania różniczkowe

[moryan91]

Witam.
Prosiłbym w miarę możliwości o rozwiązania lub chociaż nazwy danych równań i metodę postępowania.

1) \(\displaystyle{ y'+ \frac{2y}{3}= \frac{x}{ \sqrt{y} }}\)
2) \(\displaystyle{ y'- \frac{3y}{x} =- x^{3} y^{2}}\)

[Lorek]

[moryan91]

Dzięki.
Może ktoś sprawdzić czy przykład 1) jest poprawnie zrobiony?

\(\displaystyle{ y'+ \frac{2y}{3}-x y^{- \frac{1}{2} }=0}\)
Dzieląc przez \(\displaystyle{ y^{- \frac{1}{2} }}\), wprowadzając zmienną \(\displaystyle{ z= y^{ \frac{3}{2} }}\) oraz \(\displaystyle{ z'= \frac{3}{2}y ^{ \frac{1}{2} } y'}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ z'+z= \frac{3}{2}x}\)

Rozwiązuję równanie jednorodne
\(\displaystyle{ z'+z=0}\)
Otrzymuję \(\displaystyle{ z=Ce ^{-x}}\)

Uzmienniam stałą:
\(\displaystyle{ z=C(x)e ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ z'=C'(x)e ^{-x}-C(x)e ^{-x}}\)
Po podstawieniu do \(\displaystyle{ z'+z= \frac{3}{2}x}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ C'(x)e ^{-x}= \frac{3}{2}x}\)
\(\displaystyle{ C'(x)= \frac{3}{2}xe ^{x}}\)
Całkuję przez części:
\(\displaystyle{ \frac{3}{2} \int xe ^{x}dx= \frac{3}{2}e ^{x} (x-1)}\)
\(\displaystyle{ C(x)= \frac{3}{2}e ^{x} (x-1)+C}\)
\(\displaystyle{ z=C(x)e ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{\frac{3}{2}e ^{x} (x-1)+C}{e ^{x}}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{3}{2}(x-1)+ \frac{C}{e ^{x} }}\)
\(\displaystyle{ z=y ^{ \frac{2}{3} }}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt[3]{z ^{2} }}\)
więc:
\(\displaystyle{ y= \sqrt[3]{ ( \frac{3}{2}(x+1)+ \frac{C}{e ^{x} } )^{2} }}\)

[Lorek]

\(\displaystyle{ z= \frac{\frac{3}{2}e ^{x} (x-1)}{e ^{x}}}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{3}{2}(x+1)+ \frac{C}{e ^{x} }}\)

Tu masz jakiś przeskok znakowy (minus zamienił się na plus)

\(\displaystyle{ z=y ^{ \frac{3}{2} }}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{z ^{3} }}\)

I to też jest źle.

[moryan91]

Poprawiłem, teraz powinno być dobrze.
Dzięki!