Matematyka.pl

Mam pytanie. Jaka jest różnica między zwykłą ciągłością funkcji a jednostajną ciągłością i która definicja jest mocniejsza?

Znam definicje formalne ale nie rozumiem tego.

Ciągłość jest własnością lokalną - funkcja ciągła to taka, która jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Ciągłość to taka własność, że małym zmianom argumentu odpowiadają małe zmiany wartości funkcji. Ale pojęcie "małości" zależy od punktu, w którym ciągłość się bada.

Ciągłość jednostajna natomiast jest własnością globalną - w całej dziedzinie. Małe zmiany wartości są podobne (wspólnie ograniczone) w każdym punkcie dziedziny. Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła. Natomiast na odwrót nie jest. Istnieją funkcje ciągłe, ale nie jednostajnie ciągłe.

W definicji \(\displaystyle{ \varepsilon,\delta}\) dla ciągłości \(\displaystyle{ \delta}\) zależy od punktu \(\displaystyle{ x_0,}\) w którym ciągłość się bada i od \(\displaystyle{ \varepsilon}\), w dla ciągłości jednostajnej \(\displaystyle{ \delta}\) zależy wyłącznie od \(\displaystyle{ \varepsilon}\), nie zależy od konkretnego punktu dziedziny.